\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

3.2.2 Raja-arvon määrittäminen

Kuva 1

Kaikkialla jatkuvilla funktioilla (kuvaaja katkeamaton, esim. kaikki polynomifunktiot) raja-arvo saadaan suoraan laskemalla funktion arvo pisteessä, jota muuttuja lähestyy.

Esimerkki 1: olkoon \(f(x)=x^{2}-2x+1\). Raja-arvon laskeminen on suoraviivaista: \begin{equation*} \lim_{x\to 2}f(x)=\lim_{x\to 2}\left (x^{2}-2x+1\right )=f(2)\\ =2^{2}-2 \cdot 2+1=1 \end{equation*}

Kaikki polynomifunktiot ovat kaikkialla jatkuvia, mikä tekee rajankäynnistä huomattavan helppoa

Epäoleellinen raja-arvo merkitsee sitä, että muuttuja lähestyy ±ääretöntä. Polynomifunktiot (ellei kysymyksessä ole vakiofunktio) kasvavat tai vähenenevät rajatta muuttujan lähestyessä ääretöntä. Tällöin raja-arvoa ei ole määritelty.

Murtolausekkeiden kohdalla joudutaan usein tilanteeseen raja-arvon suora lasku johtaa epämääriteltyihin tilanteisiin (nollalla jako, ääretön/ääretön yms.). Tällöin yksi perusmenetelmä on supistaa murtolauseketta muuttujan sisältävällä termillä.

Esimerkki 3:

\begin{equation*} g(x)=\frac{2x-6}{x}= \frac{\frac{2x}{x}-\frac{6}{x}}{\frac{x}{x}}= \frac{2-\frac{6}{x}}{1} \to 2, \:\text{kun}\:\: x\to \infty \end{equation*}

Yllä murtolausekkeen supistaminen muuttujalla \(x\) mahdollistaa raja-arvon laskun. Termi \(\frac{6}{x}\) lähestyy nollaa muuttujan \(x\) kasvaessa kohti ääretöntä, joten koko lausekkeesta jää jäljelle 2. Kuva 1 antaa käsityksen kuvaajan käytöksestä.

Huomaa, että kun muuttuja lähestyy nollaa, lähestyy \(g(x)\) kuvasta päätellen joko positiivista tai negatiivista ääretöntä riippuen siitä, lähestytäänkö nollaa oikealta vai vasemmalta. Tällöin puhutaan toispuoleisista raja-arvoista. Erityisesti jos toispuoleiset raja-arvot ovat erisuuret, ei raja-arvo ole määritelty kyseisessä kohdassa.