\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

3.1.9 Funktioiden muunnoksia

Kuva 1
Kuva 2

Funktiota voidaan muunnella esimerkiksi suorittamalla funktion tai muuttujan arvolle jokin laskutoimitus.

Tuloksena on uusi funktio, jolla on kuitenkin jonkinlainen yhteys alkuperäiseen funktioon.

Tarkastellaan funktiota \(f(x) = x^2\), jonka kuvaaja on piirretty katkoviivalla kuvissa 1 ja 2. Tehdään siitä neljä muunnosta, jotka merkitään uusina funktioina \(g\), \(h\), \(i\) ja \(j\).

a) \(g\): vähennetään luku \(2\) funktion \(f\) arvosta
b) \(h\): vähennetään luku \(2\) funktion \(f\) muuttujan arvosta
c) \(i\): kerrotaan funktion \(f\) arvoa luvulla \(2\)
d) \(j\): kerrotaan funktion \(f\) muuttujaa luvulla \(2\).

Saadut funktiot ovat seuraavat:

\begin{align*} \:\text{a)}&\quad g(x)=f(x)-2=x^2-2 \\ \:\text{b)}&\quad h(x)=f(x-2)=(x-2)^2 = x^2-4x+4 \\ \:\text{c)}&\quad i(x)=2f(x)=2\left (x^2\right )=2x^2 \\ \:\text{d)}&\quad j(x)=f(2x)=\left (2x\right )^2=4x^2 \end{align*}

Kuvaaja verrattuna alkuperäiseen (a ja b kuvassa 1, c ja d kuvassa 2):

a) Kuvaaja on siirtynyt kaksi askelta alaspäin, mutta muoto on sama.
b) Kuvaaja on siirtynyt kaksi askelta oikealle, mutta muoto on sama.
c) Kuvaajan muoto on muuttunut "kapeammaksi".
d) Kuvaajan muoto on muuttunut "kapeammaksi".

Huomaa, että esimerkit eivät takaa, että muunnos toimii kaikilla funktioilla samalla tavalla. Tarkempi tarkastelu osoittaa, että tapaukset a ja b eli luvun lisääminen funktion tai muuttujan arvoon siirtää aina kuvaajaa muuttamatta sen muotoa. Tapauksissa c ja d muutos on monimutkaisempi ja vaihtelee eri arvoilla ja funktioilla.