\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

3.1.9.1 Muunnossääntöjä
Kuva 1
Kuva 2
Kuva 3

Voidaan osoittaa, että seuraavat säännöt pätevät yleisesti:

1) Kun funktioon lisätään luku \(a\), siirtyy funktion kuvaaja luvun \(a\) verran pystysuunnassa. Siirtymä on ylöspäin, kun \(a>0\) ja alas kun \(a<0\). Funktion kuvaajan muoto ei muutu.

2) Kun funktion muuttujaan lisätään luku \(a\), siirtyy funktion kuvaaja luvun \(a\) verran vaakasuunnassa. Siirtymä on oikealle, jos luku \(a\) on negatiivinen ja vasemmalle, jos luku \(a\) on positiivinen. Funktion kuvaajan muoto ei muutu.

Kuvissa 1-3 alkuperäisen funktion \(f(x)\) kuvaaja on katkoviivalla. Kuvassa 1 uusi kuvaaja (funktion \(g\) kuvaaja) on saatu lisäämällä funktion \(f\) arvoon luku \(2\) ja muuttujan arvoon luku \(1\) eli \(g(x) = f(x+1) +2\).

3) Kun funktiota kerrotaan luvulla \(a \neq 0\), muuttuu kuvaajan muoto seuraavasti:

  • \(a=1 \to\) kuvaaja ei muutu mitenkään
  • \(a<0 \to\) kuvaaja kääntyy ylösalaisin
  • \(a=-1 \to\) peilaus x-akselin suhteen
  • \(-1< a < 1 \to\) kuvaaja "litistyy" korkeussuunnassa
  • \( a < -1\) tai \(a > 1 \to\) kuvaaja "venyy" korkeussuunnassa

Huomaa, että funktion nollakohdat sekä ääriarvokohdat pysyvät kuitenkin samoina (vaikka itse ääriarvot yleensä muuttuvat)!

Kuvassa 2 uusi kuvaaja on funktion \(h(x) = -0,\!5 \cdot f(x)\) kuvaaja. Kuvaaja on litistynyt ja ylösalaisin, mutta nollakohdat ovat samat. Myös ääriarvot ovat samoissa kohdissa, vaikka itse arvot ovat muuttuneet.

4) Kun muuttujaa kerrotaan luvulla \(a \neq 0\), muuttuu kuvaajan muoto seuraavasti:

  • \(a=1 \to\) kuvaaja ei muutu mitenkään
  • \(a<0 \to\) kuvaaja kääntyy vaakasuunnassa (esimerkiksi ääriarvojen järjestyy kääntyy)
  • \(a=-1 \to\) peilaus y-akselin suhteen
  • \(-1< a < 1 \to\) kuvaaja "venyy" leveyssuunnassa (helppo ajatella väärin päin!)
  • \( a < -1\) tai \(a > 1 \to\) kuvaaja "kaventuu" leveyssuunnassa

Huomaa, että funktion ääriarvot pysyvät samoina, vaikka ne voivat olla eri kohdissa.

Kuvassa 3 uusi kuvaaja on funktion \(k(x) = f(-2x)\) kuvaaja. Kuvaaja on kaventunut ja kääntynyt leveyssuunnassa, mutta ääriarvot ovat samat.