\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

7.10.2 Binomitodennäköisyys

Pekka on jalkapallomaalivahti. Torjuntatilaston mukaan keskimäärin yhdeksän kymmenestä rangaistuspotkusta menee maaliin Pekan ollessa maalivahtina. Millä todennäköisyydellä kolmesta rangaistuspotkusta menee tasan kaksi maaliin?

Merkitään kirjaimella "M" maalia ja kirjaimella "E" ei-maalia (torjunta tai huti). Tässä tapauksessa mahdollisia kahden maalin tulossarjoja on kolme: EMM, MEM ja MME.

Yhden sarjan todennäköisyys saadaan tuloperiaatteen avulla (tapahtumat ovat toisistaan riippumattomia) ja eri sarjojen todennäköisyydet lasketaan yhteen. Maalin todennäköisyys on \(0,9\) ja ei-maalin \(1-0,9 = 0,1\).

\begin{equation*} P(\text{"EMM"}) + P(\text{"MEM"}) + P(\text{"MME"}) \\ = 0,1 \cdot 0,9 \cdot 0,9 + 0,9 \cdot 0,1 \cdot 0,9 + 0,9 \cdot 0,9 \cdot 0,1 \\ = 3 \cdot 0,9 \cdot 0,9 \cdot 0,1 = 0,243 \end{equation*}

Tulos on selvillä, mutta mielenkiintoiseksi laskun tekee seuraava muokkaus:

\begin{equation*} 3 \cdot 0,9 \cdot 0,9 \cdot 0,1 \\ =\binom{3}{1}0,9^{2}(1-0,9)^{3-2} \end{equation*}

Yllä nimittäin ainoat tarvittavat tiedot ovat maalien lkm (2), potkujen lkm (3) ja maalin todennäköisyys (0,9).

Toistokoe yleisesti (riippumattomat tapahtumat): Todennäköisyys sille, että toivottu tulos tulee \(k\) kertaa silloin, kun koetta toistetaan \(n\) kertaa, on seuraava:

\begin{equation*} P(X=k) = \binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k} \end{equation*}

Kaavassa \(p\) on todennäköisyys sille, että yksittäisessä kokeessa (ks. Bernoullin koe) tulee toivottu tulos.

Kirjaimella \(X\) merkitään satunnaismuuttujaa, jonka arvo (tässä \(k\)) kertoo, kuinka monesti toivottu tulos sattuu.