\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

2.7.1 Toisen asteen epäyhtälö

Kuva 1
Kuva 2: merkkikaavio

Toisen asteen epäyhtälössä muuttujan korkein potenssi on kaksi. Esimerkki:

\begin{equation} x^2-x > 2 \label{eq1}\end{equation}

Ratkaiseminen: muokkaa epäyhtälö niin, että toisella puolella on pelkkä nolla. Ratkaise sitten vastaava toisen asteen yhtälö ja määritä juurten ja kuvaajan tunnettujen ominaisuuksien avulla alkuperäisen epäyhtälön ratkaisu.

Esimerkki:

Epäyhtälöstä (\ref{eq1}) saadaan lisäämällä kaksi kummallekin puolelle muoto \begin{equation} x^2-x -2 > 0, \label{eq2}\end{equation} jota vastaava yhtälö on \(x^2-x -2=0\). Yhtälön ratkaisu saadaan ratkaisukaavalla tai tulosäännön avulla, kuten tässä:

\begin{align*} x^2-x -2& =0 \\ (x+1)(x-2)&=0 \\ x+1 = 0 &\:\text{tai}\: \:x-2=0 \\ x = -1& \:\text{tai}\:\: x=2 \\ \end{align*}

Tiedetään, että yhtälön \(x^2-x -2 > 0\) ratkaisut muodostavat ylöspäin aukeavan paraabelin, joka on myös funktion \(f(x)=x^2-x -2\) kuvaaja (kuva 1). Lisäksi polynomifunktio voi vaihtaa merkkiään ainoastaan nollakohdissa. Tästä ja nollakohdista \(x=-1\) ja \(x=2\) voidaan päätellä, että epäyhtälön ratkaisu on \(x<-1 \:\text{tai}\: x > 2\).

Hahmottamista voi auttaa merkkikaavion piirtäminen, kuten kuvassa 2.