\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

2.7.1 Toisen asteen epäyhtälö

Kuva 1
Kuva 2: merkkikaavio
Kuva 3

Toisen asteen epäyhtälössä muuttujan korkein potenssi on kaksi. Esimerkki:

\begin{equation} x^2-x > 2 \label{eq1}\end{equation}

Ratkaiseminen: muokkaa epäyhtälö niin, että toisella puolella on pelkkä nolla. Ratkaise sitten vastaava toisen asteen yhtälö ja määritä juurten ja kuvaajan tunnettujen ominaisuuksien avulla alkuperäisen epäyhtälön ratkaisu.

Esimerkki:

Epäyhtälöstä (\ref{eq1}) saadaan vähentämällä kaksi kummaltakin puolelta muoto \begin{equation} x^2-x -2 > 0. \label{eq2}\end{equation}

Huomaa, että epäyhtälöä muokattaessa sen ratkaisujoukko pysyy samana. Täten epäyhtälön \(x^2-x > 2\) ratkaisu on täsmälleen sama kuin nollamuotoisella epäyhtälöllä \(x^2-x -2 > 0\).

Nollamuoto on kätevä, koska silloin yhtälön \(x^2-x -2 = 0\) ratkaisut antavat ne kohdat, joissa funktion \(f(x)=x^2-x -2\) kuvaaja ylittää \(x\)-akselin, eli joissa lausekkeen arvon merkki muuttuu (ks. kuvat 1 ja 2).

Yhtälön \(x^2-x -2=0\) ratkaisu saadaan ratkaisukaavalla tai tulosäännön avulla, kuten tässä:

\begin{align*} x^2-x -2& =0 \\ (x+1)(x-2)&=0 \\ x+1 = 0 &\:\text{tai}\: \:x-2=0 \\ x = -1& \:\text{tai}\:\: x=2 \\ \end{align*}

Tiedetään, että funktion \(f(x)=x^2-x -2\) kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli (kuva 1). Lisäksi polynomifunktio voi vaihtaa merkkiään ainoastaan nollakohdissa. Tästä ja nollakohdista \(x=-1\) ja \(x=2\) voidaan päätellä, että epäyhtälön (myös alkuperäisen) ratkaisu on \(x<-1\) tai \(x > 2\).

Hahmottamista voi auttaa merkkikaavion piirtäminen, kuten kuvassa 2 tai vielä hienompi kuvassa 3.