\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

3.1.4.3 Toisen asteen polynomifunktion kuvaaja
Kuva 1

Toisen asteen polynomifunktion \(f(x)=ax^2+bx+c\) kuvaaja on paraabeli. Paraabelin jokaisessa pisteessä etäisyys polttopisteeseen ja johtosuoraan on yhtä suuri. Paraabelin symmetrisesti puolittava suora on nimeltään akseli (kuvan tapauksessa y-akseli). Huipuksi puolestaan nimitetään paraabelin ja akselin leikkauspistettä.

Paraabelin aukeamissuunnan määrää kertoimen \(a\) etumerkki. Suunta on ylös, kun \(a > 0\) ja alas, kun \(a < 0\). Jos \(a=0\), ei kuvaaja ole paraabeli, vaan suora.

Vakiotermi vaikuttaa vain kuvaajan pystysuoraan sijaintiin.

Kertoimen \(a\) suuruus vaikuttaa erityisesti paraabelin leveyteen. Mitä suurempi on kertoimen itseisarvo, sitä kapeampi on paraabeli, ja päinvastoin.

Kuvassa 2 ylöspäin aukeavan paraabelin yhtälö on \(y=x^2-4\), kun taas alaspäin aukeavan \(y=-x^2+4\).

(Suoran) paraabelin huippu on aina nollakohtien keskipisteen kohdalla (jos paraabelilla on nollakohtia). Nollakohdat saadaan yhtälöstä, joka syntyy, kun merkitään funktion arvo nollaksi.

Huipun \(x\)-koordinaatti saadaan myös suoraan yllä mainitusta ratkaisukaavasta jättämällä siitä pois neliöjuuritermi:

\begin{equation*} x_{\text{huippu}}=\frac{-b}{2a} \end{equation*}

Yllä mainittu toimii jopa niissä tapauksissa, joissa yhtälöllä ei ole ratkaisuja, eli juurrettava on negatiivinen (!). Tämän voi perustella aika helposti derivaatan avulla.