\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

3.3.1 Erotusosamäärä

Kuva 1
Kuva 2

Erotusosamaarä antaa funktion keskimääräisen muutosnopeuden kahden muuttujan arvon välillä.

Erotusosamäärä on samalla kulmakerroin suoralle, joka on piirretty funktion kuvaajan kahden pisteen välille. Erotusosamäärä saadaan jakamalla \(y\)-akselin suuntainen muutos (erotus) \(x\)-akselin suuntaisella muutoksella (erotuksella).

Seuraavissa merkinnöissä tarkasteltavat muuttujan arvot ovat \(x_1\) ja \(x_2\) ja vastaavat funktion arvot \(f(x_1)\) ja \(f(x_2)\).

\begin{equation*} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \end{equation*}

Oheisessa kuvassa (kuva 1) on esimerkki erotusosamäärän määrittämisestä.

Esimerkki (kuva 2)

Olkoon funktio \(f(x)=x^2\), tarkasteltavat muuttujan arvot \(x_1=1\) ja \(x_2=2\) sekä vastaavat funktion arvot \(f(1)=1^2=1\) ja\( f(2)=2^2=4\). Tällöin erotusosamäärän arvo saadaan näin:

\begin{equation*} \:\text{Erotusosamäärä}= \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} = \frac{4-1}{2-1}=\frac{3}{1}=3 \end{equation*}

Tämä voidaan tulkita niin, että välillä \([1,2]\) funktion arvo kasvaa keskimäärin kolme kertaa muuttujan arvoa nopeammin.

Erotusosamäärä on samalla pisteiden \((1,1)\) ja \((2,4)\) kautta piirretyn suoran kulmakerroin.