\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

3.1.13 Itseisarvofunktiot

Kuva 1
Kuva 2
Kuva 3

Määritellään itseisarvofunktio sellaiseksi funktioksi, jossa jokin muuttujan sisältävä lauseke on ympäröity itseisarvomerkeillä. Esimerkkejä ovat seuraavat:

\(f(x)=\left |x\right | \)

\(g(x)=x- \left |2x -1\right | \)

\(h(x)=\left |x^2 -4 \right | \)

Itseisarvo voi aiheuttaa funktion kuvaajaan äkillisiä "teräviä" käännöksiä. Itseisarvolauseke on aina positiivinen, joten äkkikäännös tulee siihen kohtaan, jossa itseisarvon sisällä oleva lauseke muuttaa merkkiään.

Kuvissa 1-3 on yllä mainittujen funktioiden kuvaajat. Äkkikäännökset ovat aina itseisarvolausekkeen nollakohdissa. Näissä kohdissa kuvaajan tangentin suunta (funktion derivaatan arvo) ei ole määriteltu, eikä tangenttia voida piirtää.

Funktiot \(f\) ja \(h\) ovat kokonaan itseisarvomerkkien sisällä, joten funktiot eivät voi saada negatiivisia arvoja. Funktiossa \(g\) sen sijaan itseisarvolauseke on vain osa funktion arvoa, jolloin funktio voi saada myös negatiivisia arvoja.

Jos jonkin funktion ympärille lisätään itseisarvomerkit, muuttuu funktion kuvaaja niin, että kuvaajan x-akselin alapuolella olevat osat peilataan x-akselin suhteen.