\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

3.1.13.1 Paloittain määrittely
Kuva 1
Kuva 2

Itseisarvofunktio on tyypillinen esimerkki funktiosta, jonka jakaminen erillisiin osiin, paloihin, auttaa monissa tilanteissa.

Tarkastellaan funktiota \(f(x)=\left |x\right |\). Funktion kuvaaja on oheisessa kuvassa. Kuvaaja muodostuu kahdesta puolisuorasta, jotka päättyvät kumpikin origoon. Määritellään nyt funktio paloittain tarkastelemalla erikseen negatiivisia ja ei-negatiivisia arvoja:

\begin{equation*} f(x)= \begin{cases} -x \:\text{ kun } x < 0 \\ x \:\text{ kun } x \geq 0 \end{cases}\end{equation*}

Paloittain määrittelystä nähdään helposti, että funktion kuvaaja seuraa y-akselin vasemmalla puolella suoraa \(y=-x\) ja oikealla puolella suoraa \(y=x\).

Esimerkki:

Määrittele paloittain funktio \(g(x)=x- \left |2x -1\right | \).

Palojen rajakohdat saadaan itseisarvolausekkeen nollakohdista. Tässä itseisarvomerkkien sisällä on lauseke \(2x-1\), jonka ainut nollakohta on \(x=\frac{1}{2}\). Tämän kohdan eri puolilla lausekkeen merkki on erilainen (vasemmalla negatiivinen ja oikealla positiivinen).

Itseisarvo "pakottaa" lausekkeen arvon positiiviseksi: \(\left |2x-1\right |=2x-1\) silloin, kun \(x\geq \frac{1}{2}\), mutta \(\left |2x-1\right |=-(2x-1) = -2x+1\) silloin, kun \(x < \frac{1}{2}\).

Alkuperäiselle funktiolle saadaan näin muoto \(x-(2x-1) = -x+1\), kun \(x\geq \frac{1}{2}\) ja \(x-(-2x+1)=x+2x-1 = 3x-1\), kun \(x < \frac{1}{2}\). Paloittain määrittely näyttää siis seuraavalta:

\begin{equation*} g(x)= \begin{cases} 3x-1\:\text{ kun } x < \frac{1}{2} \\ -x+1 \:\text{ kun } x \geq \frac{1}{2} \end{cases}\end{equation*}

Funktion kuvaaja on kuvassa 2.