\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

3.5.8 Tangenttifunktion ominaisuuksia (kaikki kulmat)

Kuva 1: yksikköympyrä
Kuva 2: tangenttifunktion kuvaaja

Suorakulmaisen kolmion ja yksikköympyrän avulla tangentille saadaan seuraava määritelmä:

\begin{equation*} \tanα=\frac{\:\text{vastainen kateetti}}{\:\text{viereinen kateetti}}= \frac{b}{a}=\frac{\sinα}{\cosα} \end{equation*}

Tässä artikkelissa tangentti ja tangenttifunktio tarkoittavat samaa asiaa.

Koska tangentin arvo saadaan kehäpisteen koordinaattien (kuvassa \(\pm a\) ja \(\pm b\)) osamääränä, on arvo sama piin välein. Kuvan 1 merkintöjen avulla saadaan yhtäsuuruus \(\tan\alpha = \frac{b}{a} = \frac{-b}{-a}=\tan\left (\pi +\alpha\right )\), joka toimii kaikilla kulman \(\alpha \) arvoilla tangenttifunktion määrittelyjoukossa. Tangenttifunktio on siis jaksollinen ja jakson pituus on \(\pi \).

Tangentti ei ole määritelty, kun nimittäjä eli \(\cosα\) on nolla, eli kun \(α=\frac{π}{2}+nπ\), jossa \(n\) on kokonaisluku. Näissä kohdissa tangenttifunktion kuvaajalla on pystysuora asymptootti.

Tangenttifunktio saa kaikki mahdolliset arvot, joten sen arvojoukko on koko \(\mathbb{R}\).

Tangentti on nolla, kun sinifunktio on nolla, eli tangentilla ja sinillä on yhteiset nollakohdat kulmilla \(\alpha =n\pi\text{, } n\in\mathbb{Z}\).