\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

3.3.5.1 Eksponenttifunktion derivointi (kantaluku e)

Muotoa \(f(x)=e^{x}\) olevan eksponenttifunktion derivaatta sama kuin itse funktio:

\begin{equation*}f'(x)=e^{x}\end{equation*}

Jos eksponentti on itsessään funktio (ns. sisäfunktio), pitää muistaa derivoidessa kertoa sisäfunktion derivaatalla:

\begin{equation*}g(x)=e^{h(x)} \Rightarrow g'(x)=e^{h(x)}\cdot h'(x)\end{equation*}

Esimerkki

Olkoon \(f(x)=e^{x^{3}-3x+4}\). Tällöin funktion \(f\) derivaatta on

\begin{equation*}f'(x) =e^{x^{3}-3x+4}\cdot D\left (x^{3}-3x+4\right ) =e^{x^{3}-3x+4}\cdot \left (3x^{2}-3\right )\end{equation*}