\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

3.1.12.1 Logaritmifunktion määrittely- ja arvojoukko
Kuva 1

Olkoon vakio \(a>0\), \(a\neq 1\) ja funktio \(f(x)=\log_a{x}\).

Määrittelyjoukko

Funktio \(f(x)\) on määritelty, kun \(x>0\), eli funktion määrittelyjoukko on \(\mathbb{R}_{+}\) (positiivisten reaalilukujen joukko).

Tämä johtuu siitä, että positiivisen luvun \(a\) potenssi on aina positiivinen, joten ei ole olemassa sellaista lukua \(b\), jolla pätee \(a^b < 0\).

Arvojoukko

Kun kantaluku \(a > 1\), funktion \(f(x)\) arvo, eli \(a\)-kantaisen eksponentin arvo lähestyy ääretöntä, kun \(x\to \infty \), ja negatiivista ääretöntä, kun \(x\to 0 \). Kun kantaluku \(0 < a < 1\), menevät ääriarvot toisin päin, eli \(\lim_{x\to \infty}=-\infty\) ja \(\lim_{x\to 0}=\infty\).

Logaritmifunktio on jatkuva määrittelyjoukkossaan, joten se saa kaikki arvot väliltä \(]-\infty, \infty[\). Funktion arvojoukko on siis koko reaalilukujen joukko \(\mathbb{R}\).

Merkintä

Yllä olevat seikat voidaan merkitä ytimekkäästi seuraavalla merkinnällä: \begin{equation*}f: \mathbb{R}_+\to \mathbb{R}\end{equation*}