Potenssiyhtälö

Potenssiyhtälö on muotoa \(ax^{n}=b\) oleva yhtälö, jossa \(a\) ja \(b\) ovat reaalilukuja, \(n>1\) on positiivinen kokonaisluku (yhtälön aste) ja ainut muuttuja on \(x\).

Esimerkkejä potenssiyhtälöistä:

a) \(x^{2}=4\)

b) \(-3x^{2}+9=-2x^{2}\)

c) \(-3x^{3}-24=0\)

Potenssiyhtälön ratkaisu:

1) Muokkaa yhtälöä niin, että termi \(x^{n}\) on yksin ja yhtälön toisella puolella on pelkkä luku.

2) Ota yhtälön kummastakin puolesta eksponenttia \(n\) vastaava juuri. Jos eksponentti on parillinen, muista \(\pm \)! Perustelu: \(a^{2} = (-a)^{2}\) kaikilla luvuilla \(a\).

Esimerkit

a) Yhtälön vasemmalla puolella on termi \(x^{2}\) yksin, eli juurenotto toimii suoraan: \begin{align*} x^{2}&=4\quad \Vert\sqrt{} \\ \sqrt{x^{2}}&=\sqrt{4} \\ x&=\pm 2 \\ \end{align*}

b) Tämä jää harjoitustehtäväksi.

c) Yhtälö on kolmatta astetta, mutta muuten ohjeen mukaan: \begin{align*} -3x^{3}-24&=0\quad \Vert +24 \\ -3x^{3}&=24\quad \Vert :(-3) \\ x^{3}&=-8\quad \Vert \sqrt[3]{} \\ \sqrt[3]{x^{3}}&=\sqrt[3]{-8} \\ x&=-2 \end{align*}