Kertolaskusääntö

Kun lasketaan todennäköisyyttä sille, että saadaan kolikolla kolme kruunaa peräkkäin, tarvitaan kertolaskua. Kolikonheitot ovat riippumattomia (edellinen heitto ei vaikuta seuraavaan), joten tapahtuman \(A=\) "saada kolme kruunaa peräkkäin" todennäköisyys saadaan kertomalla yksittäisten tapahtumien todennäköisyydet keskenään.

\begin{equation*} P(A) =\frac{1}{2} \cdot\frac{1}{2} \cdot\frac{1}{2} =\frac{1}{2⋅2⋅2} = \frac{1}{8} = 0,\!125 = 12,\!5 \:\text{%}. \end{equation*}

Todennäköisyys saada kolme kruunaa kolmella heitolla on siis \(12,\!5 \:\text{%}\).

Yleisesti: Jos tapahtumat \(A\) ja \(B\) ovat toisistaan riippumattomia, saadaan tapahtuman "\(A\) ja \(B\)" todennäköisyys seuraavalla kaavalla:

\begin{equation*} P(A \:\text{ja} \:B) = P(A) \cdot P(B) \end{equation*}

Joskus aikaisempi tapahtuma muuttaa seuraavan tapahtuman todennäköisyyttä, jolloin tapahtumat eivät ole toisistaan riippumattomia. Tällöin merkitään seuraavasti:

\begin{equation*} P(A \:\text{ja} \:B) = P(A) \cdot P(B│A) \end{equation*}

Merkintä \(P(B│A)\) tarkoittaa todennäköisyyttä tapahtumalle \(B\) ehdolla \(A\). Esimerkissä yllä ehto viittaa edeltävään tapahtumaan \(A\), joka muuttaa tapahtuman \(B\) todennäköisyyttä.

Tyypillinen esimerkki on useamman esineen noukkiminen umpimähkään astiasta niin, ettei valittua palauteta astiaan.

Esimerkki 1
Laatikossa on neljä punaista ja kolme vihreää palloa. Pekka poimii kolme palloa silmät kiinni. Mikä on todennäköisyys, että kaikki pallot ovat punaisia, kun valittua palloa ei palauteta laatikkoon?

Ratkaisu: Todennäköisyys saada ensimmäisellä kerralla punainen pallo on 4/7, mutta toisella kerralla 3/6 ja kolmannelle 2/5, koska pallojen määrä laatikossa vähenee. Ratkaisu saadaan kertomalla todennäköisyydet keskenään:

\begin{equation*}P(\text{"kolme punaista"}) = \frac{4}{7}⋅\frac{3}{6}⋅\frac{2}{5} = \frac{4⋅3⋅2}{7⋅6⋅5} = \frac{24}{210} ≈ 0,11\end{equation*} Vastaus: Kolmen punaisen pallon todennäköisyys on noin 11 %.