opinnot.net

+	1 Luvut, joukot ja laskutoimitukset
	1.1 Neliöjuuri
+	1.2 Potenssi
	1.2.1 Potenssit ja etuliitteet
	1.2.2 Eksponentti \(\frac{1}{n}\) ja juuren ottaminen
	1.2.3 Murtoluku eksponenttina
	1.2.4 Potenssit ja kaavojen muokkaus
+	1.3 Irrationaaliluvut
	1.3.1 Irrationaaliluvut ja sieventäminen
+	2 Algebra
	2.1 Muuttuja, lauseke ja yhtälö
+	2.2 Polynomi
	2.2.1 Binomi potenssiin kolme \((a \pm b)^3\)
	2.2.2 Binomin potenssit \((x+1)^n\) ja Pascalin kolmio
	2.3 Muistikaavat
	2.4 Tekijöihin jakaminen
	2.5 Rationaalilausekkeen sieventäminen
+	2.6 Yhtälö
+	2.6.1 Toisen asteen yhtälö
	Vaillinainen 2. asteen yhtälö
	Ratkaisukaava
	Ratkaisukaavan johtaminen
	Diskriminantti
	2.6.2 Tulon nollasääntö
	2.6.3 Itseisarvoyhtälö
	2.6.4 Soveltavat tehtävät
+	2.6.5 Yhtälöpari
	Sijoitusmenetelmä
	Yhteenlaskumenetelmä
+	2.7 Epäyhtälö
	2.7.1 Toisen asteen epäyhtälö
	2.7.2 Rationaaliepäyhtälö
−	3 Analyysi
−	3.1 Funktio
	3.1.1 Määrittelyjoukko
	3.1.2 Arvojoukko
	3.1.3 Funktion arvo
+	3.1.4 Funktion kuvaaja
+	Ensimmäisen asteen polynomifunktion kuvaaja
	Kulmakertoimen määrittäminen
	Suoran piirtäminen pisteen ja kulmakertoimen avulla
	Funktion kuvaajan piirtäminen
	Toisen asteen polynomifunktion kuvaaja
	Paraabeli
	Funktion kuvaajien leikkauspisteet
+	3.1.5 Funktion nollakohta
	Nollakohtien laskeminen
	3.1.6 Funktion jatkuvuus
	3.1.7 Funktion parillisuus
	3.1.8 Funktion kasvaminen ja väheneminen
	3.1.9 Monotonisuus
+	3.1.10 Funktioiden muunnoksia
	Muunnossääntöjä
	Funktiolausekkeen määrittely muunnosten avulla
−	3.1.11 Rationaalifunktiot
	Rationaalifunktion määrittelyjoukko
	Rationaalifunktion nollakohdat
−	Asymptootit
	Pystysuorat asymptootit
	Vaakasuorat asymptootit
	Vinot ja käyrät asymptootit
+	Ensimmäisen asteen rationaalifunktiot
	Ensimmäisen asteen rationaalifunktion ominaisuuksia
	Symmetriakeskus ja -akselit
	Huippujen määritys
	Laskuesimerkki: rationaalifunktion ominaisuuksia
	Laskuesimerkki (1. asteen rat. funktio)
+	3.1.12 Eksponenttifunktio
	Eksponenttifunktion määrittely- ja arvojoukko
	Eksponenttifunktion kantaluvun vaihtaminen
	Kantaluvun vaihtaminen neperin lukuun
+	3.1.13 Logaritmifunktio
	Logaritmifunktion määrittely- ja arvojoukko
+	Logaritmikaavoja
	Logaritmikaavojen perustelut
+	3.1.14 Itseisarvofunktiot
	Paloittain määrittely
	3.1.15 Jaksollinen funktio
	3.1.16 Merkki- ja kulkukaavio
+	3.2 Funktion raja-arvo
+	3.2.1 Monikulmiosta ympyrään
	N-kulmion piiri p(n)=2rn sin(π/n)
	N-kulmion piirin raja-arvo
	3.2.2 Raja-arvon määrittäminen
	3.2.3 Raja-arvon epsilon-delta -määritelmä
	3.2.4 Raja-arvon laskusäännöt
+	3.3 Derivaatta
	3.3.1 Erotusosamäärä
	3.3.2 Derivaatan raja-arvomääritelmä
	3.3.3 Merkintöjä
	3.3.4 Polynomifunktion derivointi
+	3.3.5 Eri funktioiden derivaattoja
	Eksponenttifunktion derivointi (kantaluku e)
	Logaritmifunktion derivointi (luonnollinen logaritmi)
	3.3.6 Graafinen derivointi
	3.3.7 Tangentin yhtälö
	3.3.8 Derivaatan nollakohdat
+	3.3.9 Funktion ääriarvot
	Polynomifunktion ääriarvot suljetulla välillä
	3.3.10 Terassikohta
	3.3.11 Soveltaminen
+	3.4 Integraalilaskenta
	3.4.1 Määrätty integraali
	3.4.2 Integraalifunktio
	3.4.3 Analyysin peruslause
+	3.4.4 Integrointisääntöjä
	Rationaalifunktion integrointi
+	3.4.5 Ympyrän tarkastelua
	Ympyrän pinta-ala: integrointi
	3.4.6 Pinta-alalaskut (osa 1)
	3.4.7 Pyörähdyskappaleen tilavuus
	3.4.8 Käyrän pituus
+	3.5 Trigonometria
	3.5.1 Suorakulmaisen kolmion trigonometriaa
	3.5.2 Muistikolmiot
	3.5.3 Yksikköympyrä
+	3.5.4 Radiaanit
	Radiaanien ja asteiden suhde
	3.5.5 Sinin ja kosinin ominaisuuksia \(\left (0 \leq \alpha \leq 2\pi \right )\)
	3.5.6 Tangenttifunktion ominaisuuksia \(\left (0 \leq \alpha \leq 2\pi\right ) \)
	3.5.7 Sinin ja kosinin ominaisuuksia (kaikki kulmat)
	3.5.8 Tangenttifunktion ominaisuuksia (kaikki kulmat)
+	3.5.9 Sinifunktio
	Siniaalto
	3.5.10 Kosinifunktio
	3.5.11 Tangenttifunktio
	3.5.12 Trigonometriset yhtälöt 1
	3.5.13 Trigonometristen funktioiden jaksollisuus
	3.5.14 Trig. funktioiden kuvaajat ja nollakohdat
	3.5.15 Trigonometriset kaavat
+	3.5.16 Kaavojen todistuksia
	\(\sin^2x+\cos^2x = 1\)
	\(\cos(x+y) =\cos x \cos y-\sin x \sin y \)
+	3.6 Verrannollisuus
	3.6.1 Suoraan verrannollisuus
+	3.6.2 Kääntäen verrannollisuus
	Ratkaisu laskemalla
+	4 Analyyttinen geometria
+	4.1 Tasogeometria
+	4.1.1 Suora
+	Suoran ja pisteen etäisyys
	Todistus vektorien ja suoran parametriesityksen avulla
	4.1.2 Paraabeli
+	4.2 Avaruus
	4.2.1 Suoran yhtälö
+	4.2.2 Tason yhtälö
+	Tason ja pisteen etäisyys
	Todistus: pisteen etäisyys tasosta
	4.2.3 Pallon yhtälö
+	5 Lukujonot
	5.1 Merkintöjä
	5.2 Analyyttinen määritelmä
	5.3 Rekursiivinen määritelmä
+	5.4 Aritmeettinen lukujono
	5.4.1 Summa
+	5.5 Geometrinen lukujono
	5.5.1 Summa
	5.5.2 Summakaavan todistus
+	6 Tilastot
+	6.1 Luokittelu
	6.1.1 Todelliset luokkarajat
+	6.2 Keskiluvut
	6.2.1 Painotettu keskiarvo
	6.2.2 Keskiarvon lineaarisuus
	6.3 Kvartiilit
	6.4 Rasiakuvaaja
+	6.5 Rasiakuvaajat (Ti-nspire)
	6.5.1 Rasiakuvaajan tulkinta
	6.6 Keskihajonnat
	6.7 Normitettu arvo
+	6.8 Kahden muuttujan tilastot
+	6.8.1 Korrelaatio
	Pienimmän neliösumman menetelmä (idea)
+	6.8.2 Mayerin suora
	Mayerin suora - esimerkki
+	7 Todennäköisyys
	7.1 Otosavaruus (perusjoukko)
	7.2 Satunnaismuuttuja
	7.3 Kertolaskusääntö
	7.4 Yhteenlaskusääntö
	7.5 Komplementti
	7.6 Geometrinen tulkinta
+	7.7 Venn-diagrammit, taulukot ja puukaaviot
	7.7.1 Venn-diagrammit
	7.7.2 Taulukot
	7.7.3 Puukaaviot
	7.8 Jonot ja permutaatiot
	7.9 Kombinaatiot
	7.10 Riippumattomat tapahtumat
+	7.11 Ehdollinen todennäköisyys
+	7.11.1 Bayesin kaava
	Esimerkki Bayesin kaavan käytöstä
+	7.12 Todennäköisyysjakauma
	7.12.1 Diskreetti jakauma
+	7.12.2 Jatkuva jakauma
+	Normaalijakauma
	Laskuesimerkkejä (normaalijakauma)
	7.12.3 Bernoullin jakauma
	7.12.4 Binomijakauma ja -todennäköisyys
	7.12.5 Binomijakauman normaaliaproksimaatio
+	8 Matemaattinen malli
	8.1 Lineaarinen malli
	8.2 Eksponentiaalinen malli
	8.3 Potenssifunktioon perustuva mallinnus
+	9 Laskinohjeita TI-nspire
	9.1 Ohjemerkinnöistä (TI-nspire)
	9.2 Yleisiä ohjeita
	9.3 Uusi asiakirja
	9.4 Lukujen käsittely
+	9.5 Lausekkeet ja yhtälöt (pikaohje)
	9.5.1 Solve ja vastausjoukon rajoittaminen
+	9.6 Analyysia laskimella
	9.6.1 Funktion määrittely ja arvon laskeminen
	9.6.2 Derivointiohjeita
	9.6.3 Integrointi (Ti-nspire CX CAS)
	9.6.4 Funktion kuvaajan piirtäminen
+	9.7 Tilastot laskimella
	9.7.1 Tilaston syöttö frekvenssitaulukkona
	9.7.2 Histogrammi ja rasiakuvaaja
	9.7.3 Rasiakuvaajan piirtäminen arvojoukosta
	9.7.4 Rasiakuvaajan piirtäminen frekvenssitaulukosta
	9.7.5 Laskut
	9.7.6 Videolinkkejä
+	9.8 Todennäköisyyslaskut ja Tinspire
	9.8.1 Kertoma
	9.8.2 Binomikerroin laskimella
	9.8.3 Binomitodennäköisyys laskimella
	9.8.4 Normaalijakaumalaskut (Ti-nspire)
	9.9 Press-to-test -tila
	9.10 Kuvaajan sovitus pistejoukkoon (regressio)
	9.11 Taulukkolaskentaa

Vinot ja käyrät asymptootit

Kuva 1

Kuva 2

Jos rationaalifunktion osoittajan aste on nimittäjän astetta suurempi, voi funktion kuvaajalla olla asymptoottina vino suora tai muu käyrä.

Esimerkiksi kuvassa 1 on kaksi asymptoottia, joista toinen on vino (suora y = x).

Kuvassa 2 on rationaalifunktion

S(x) =

x³−1

kuvaaja, jolla on asymptoottina paraabeli y = x² (katkoviivalla). Toisena asymptoottina tällä on y-akseli, mutta sitä ei ole erikseen merkitty kuvaan.