Monotonisuus

Alla muuttujat x, x₁ ja x₂ voivat olla mitä tahansa arvoja funktion f määrittelyjoukossa $A_f$.

Funktio f(x) on monotonisesti kasvava, jos funktion arvo kasvaa (tai pysyy samana) muuttujan arvon kasvaessa, eli kaikilla arvoilla x₁ ja x₂ on voimassa lause

Funktio f(x) on monotonisesti vähenevä, jos funktion arvo pienenee (tai pysyy samana) muuttujan arvon kasvaessa, eli kaikilla arvoilla x₁ ja x₂ on voimassa lause

Funktiota sanotaan aidosti monotoniseksi (aidosti kasvava tai aidosti vähenevä), jos merkinnöistä yllä jätetään yhtäsuuruudet pois:

Funktio f(x) on aidosti kasvava, jos funktion arvo kasvaa muuttujan arvon kasvaessa, eli kaikilla arvoilla x₁ ja x₂ on voimassa lause

Funktio f(x) on aidosti vähenevä, jos funktion arvo pienenee muuttujan arvon kasvaessa, eli kaikilla arvoilla x₁ ja x₂ on voimassa lause

Käytännössä monotonisuutta tutkitaan usein derivaatan avulla (merkintä $\forall x\in A_f$ tarkoittaa kaikkia muuttujan x arvoja, jotka kuuluvat funktion f määrittelyjoukkoon):

Funktio f on monotonisesti kasvava jos f'(x) ≥ 0 $\:\forall x\in A_f$. Funktio f on monotonisesti vähenevä jos f'(x) ≤ 0 $\:\forall x\in A_f$. Funktio f on aidosti kasvava jos f'(x) > 0 $\:\forall x\in A_f$. Funktio f on aidosti vähenevä jos f'(x) < 0 $\:\forall x\in A_f$.

Huomautus: derivaattasääntö on riittävä, mutta vähän turhankin tiukka. Funktio voi olla aidosti kasvava, vaikka sen derivaatta olisikin nolla yksittäisissä (erillisissä) pisteissä.