Edellä osoitettiin, että säännöllisen monikulmion piiri saadaan seuraavasti:
p(n) = 2rn
sin
π
n
Funktiossa muuttuja n on kulmien lukumäärä ja r matka keskipisteestä monikulmion kärkeen (mihin tahansa).
Mitä piiri lähestyy, kun n lähestyy ääretöntä?
Vastauksen saamiseksi riittää tutkia lauseketta
n
sin
π
,
n
(1)
koska kerroin 2r on vakio.
Tehdään pieni sijoitus, jotta sinilausekkeesta saadaan yksinkertaisempi.
Merkitään osamäärää π/n kirjaimella u, jolloin muuttujalle n saadaan seuraava merkintä:
π
= u ║⋅n
n
π = nu ║ : u
π
= n
u
Nyt lausekkeesta (1) saadaan seuraavanlainen:
n
sin
π
=
π
⋅
sin
u = π⋅
sin
u
n
u
u
Taulukkokirjasta löytyy viimeisessä muodossa esiintyvän lausekkeen raja-arvo (ei ihan itsestäänselvä):
lim
n → ∞
sin
u
= 1
u
Tämän avulla saadaan monikulmion piirin raja-arvo selville:
lim
n → ∞
2rn
sin
π
=
lim
n → ∞
2rπ
sin
u
= 2rπ⋅1 = 2πr
n
u
Raja-arvoksi saatiin 2πr, eli tuttu ympyrän piirin kaava.
