Tulon nollasääntö

Jos \(3⋅x=0\), on helppo päätellä, että muuttuja \(x = 0\). Toisaalta \(3⋅4⋅12⋅0⋅45 = 0\), koska yksikin nollalla kertominen nollaa tulon. Yleisesti pätee seuraava:

Jos kertolaskun tulos on nolla, täytyy ainakin yhden tekijöistä olla nolla. Toisaalta jos vähintään yksi tekijöistä on nolla, on myös tulos nolla.

Tämä niin kutsuttu tulon nollasääntö voidaan esittää matematiikan kielellä seuraavasti:

Olkoot \(a\) ja \(b\) mitä tahansa lukuja. Tällöin on voimassa seuraava:

\begin{equation*}ab=0 ⇔ a = 0 \:\text{tai } b=0\end{equation*}

Tulon nollasäännön avulla vähintään toisen asteen yhtälön ratkaisu helpottuu, koska yhtälö voidaan jakaa alemman asteen yhtälöihin. Jako onnistuu aina, kun yhtälöllä on reaaliratkaisuja (muussa tapauksessa vain kompleksilukujen avulla).

Esimerkki:

\begin{align*} x^2-1&=0 \quad \Vert \:\text{Jako tekijöihin: muistikaavat!} \\ (x+1)(x-1)&=0 \quad \Vert \:\text{Tulon nollasääntö} \\ x+1=0 \:&\text{tai } x-1=0\\ x=-1 \:&\text{tai } x=1 \end{align*}

Yhtälön \(x^2-1=0\) ratkaisuja ovat siis \(x=-1\) ja \(x=1\)