Eksponenttifunktio

Kuva 1

Eksponenttifunktio on muotoa \(f(x)=a^x\), jossa eksponentti on muuttuja. On sovittu, että kantaluku \(a > 0\) ja \(a \neq 1\).

Yksinkertainen esimerkki on \(f(x)=2^{x}\), joka kuvaa vaikkapa solunjakautumisessa syntyvien solujen lukumäärää jakautumiskertojen funktiona.

Esimerkiksi kolmen jakautumiskerran jälkeen yhdestä solusta on tullut \(f(3)=2^{3}=8\) solua (1 → 2 → 4 → 8).

Eksponenttifunktio kuvaa "eksponentiaalista muutosta", joka viittaa nopeaan kasvuun / vähenemiseen.

Kuvaajista voi päätellä, että eksponenttifunktio on joko aidosti kasvava (\(a > 1\)) tai aidosti vähenevä \(0 < a < 1\). Kun kantaluku lähestyy yhtä, lähestyy kuvaaja ykkösen korkeudella kulkevaa suoraa.

Eksponenttifunktioiden tärkeä erikoistapaus on funktio \(g(x)=e^{x}\). Kantalukuna on neperin luku, jonka likiarvo on 2,72. Tällöin funktion \(g\) derivaatta on sama kuin funktion arvo, eli \(g'(x)=e^{x}\).

Eksponenttifunktion ominaisuuksia (vertaa logaritmifunktioon):

• määrittelyjoukko: \(\mathbb{R}\)
• arvojoukko: \(\mathbb{R_+}\)
• aidosti kasvava, kun kantaluku \(a > 1\)
• aidosti vähenevä, kun kantaluku \(0< a < 1\)
• kasvaa / vähenee hyvin nopeasti (vertaa logaritmifunktioon)
• kaikkialla jatkuva ja derivoituva
• \(D(e^{x})=e^{x}\)
• logaritmifunktion käänteisfunktio: \(a^{b}=x \Leftrightarrow \log_a(x)=b\)