\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

Logaritmifunktio

Kuva 1

Logaritmifunktio merkitään yleisesti \(f(x)=\log_a (x)\). Logaritmi on se eksponentti, johon kantaluku \(a\) on korotettava, jotta tulokseksi saadaan luku \(x\).

On sovittu, että kantaluku \(a>0\) ja \(a\neq 1\). Tällöin funktion määrittelyehto on \(x>0\), koska positiivisen kantaluvun potenssi on aina positiivinen (myös negatiivisilla eksponenteilla: esim \(2^{-2}=\frac{1}{2^{2}}=\frac{1}{4}>0\)).

Esimerkiksi \(\log_5{25}=2\), koska \(5^2=25\). Toisin sanoen luku \(5\) täytyy korottaa potenssiin \(2\), jotta tulokseksi saadaan \(25\). Vastaavasti \(\log_{10}{1000}=3\).

Logaritmi- ja eksponenttifunktio ovat toistensa käänteisfunktioita, jolloin seuraavat yhtälöt ovat voimassa:

\begin{equation}\log_a (x)=b \Leftrightarrow a^b=x\end{equation} \begin{equation}\log_a (a^x)=x\end{equation} \begin{equation}a^{\log_a{x}}=x\end{equation}

Logaritmin kantaluku \(a\) voi olla mikä tahansa, mutta tavallisimmat kantaluvut lienevät 10 ja Neperin luku \(e\). Näille tapauksille käytetään seuraavia lyhennösmerkintöjä:

\begin{equation}\log_{10}{(x)}=\lg{(x)}\end{equation} \begin{equation}\log_{e}{(x)}=\ln{(x)}\end{equation}

Sulkuja on hyvä käyttää selvyyden vuoksi, vaikka ne joskus jätetäänkin pois, ellei sekaannuksen vaaraa ole.

Logaritmifunktion ominaisuuksia:

  • määrittelyjoukko: \(\mathbb{R_+}\)
  • arvojoukko: \(\mathbb{R}\)
  • aidosti kasvava koko määrittelyjoukossaan, kun kantaluku \(a > 1\)
  • aidosti vähenevä koko määrittelyjoukossaan, kun kantaluku \(0< a < 1\)
  • kasvaa / vähenee hyvin hitaasti
  • jatkuva ja derivoituva määrittelyjoukossaan
  • \(D(\ln(x))=\frac{1}{x}\)