Funktion jatkuvuus
Funktio on jatkuva, kun sen kuvaajassa ei ole reikiä eikä hyppyjä, vaan kuvaaja on yhtenäinen viiva.
Täsmällisemmin asian voi ilmaista seuraavasti:
Funktio \(f(x)\) on jatkuva määrittelyjoukossaan \(M_f\), jos ja vain jos on voimassa yhtäsuuruudet \begin{equation*}\lim_{x \to x_0-}f(x)=\lim_{x \to x_0+}f(x)=f(x_0)\end{equation*}millä tahansa arvolla \(x_0 \in M_f\). |
Yksinkertaistettuna ajatus on siinä, että kun lähestytään funktion kuvaajalla tiettyä kohtaa \(x_0\), päädytään samaan pisteeseen \((x_0, f(x_0))\) riippumatta siitä, tullaanko oikealta vai vasemmalta. Funktio on tällöin jatkuva kohdassa \(x_0\).
Lukiotasolla tarkastellut funktiot ovat yleensä jatkuvia määrittelyjoukossaan. Tämä on voimassa esimerkiksi seuraaville funktioille:
- polynomifunktiot (määrittelyjoukko koko \(\mathbb{R}\))
- rationaalifunktiot (määriteltyjä kaikkialla paitsi nimittäjän nollakohdissa)
- eksponenttifunktiot (määrittelyjoukko koko \(\mathbb{R}\))
- logaritmifunktiot (logaritmi on määritelty vain positiivisilla luvuilla)
- potenssi- ja juurifunktiot (parilliset juuret on määritelty vain ei-negatiivisilla luvuilla)
Muista tarkistaa määrittelyjoukko aina ennen johtopäätösten tekemistä!
