Ensimmäisen asteen rationaalifunktion ominaisuuksia

Kuva 1

Olkoon funktio \(f=\frac{ax+b}{cx+d}\) supistetussa muodossa ja vakiot \(a\), \(b\), \(c\) ja \(d\) "kunnollisia" (\(c\neq 0\) ja \((a,b)\neq (0,0)\)). Tällöin funktiolla on seuraavat ominaisuudet:

Määrittelyjoukko
Funktio \(f\) on määritelty aina, kun nimittäjä ei ole nolla. Toisin sanoen on yksi arvo, jolla funktio ei ole määritelty. Arvo saadaan selville merkitsemällä nimittäjä nollaksi ja ratkaisemalla yhtälö:

\begin{align*} cx+d&=0 \quad \Vert -d \\ cx&=-d \quad \Vert :c \\ x&=-\frac{d}{c} \end{align*}

Tästä saadaan määrittelyehto \(x\neq -\frac{d}{c}\) eli funktio on määritelty kaikilla muilla reaaliluvuilla, paitsi luvulla \(-\frac{d}{c}\). Vastaavasti määrittelyjoukko voidaan merkitä \(M_f=\mathbb{R} \setminus \{ -\frac{d}{c} \} \).

Kuvaaja
Funktion kuvaaja on hyperbeli, joka on symmetrinen suorien \(y=x+q_1\) ja \(y=-x+q_2\) suhteen. Vakiot \(q_1\) ja \(q_2\) riippuvat funktion \(f\) vakioiden arvoista, mutta kulmakertoimet ovat aina \(1\) ja \(-1\). Toinen näistä symmetria-akseleista leikkaa hyperbelin sen huippupisteissä (kuvan 1 musta katkoviiva), toinen ei leikkaa hyperbeliä ollenkaan.

Asymptootit
Kuvaajalla on kaksi asymptoottia, pystysuora ja vaakasuora. Pystysuora saadaan nimittäjän nollakohdasta, eli sen yhtälö on \(x= -\frac{d}{c}\).

Vaakasuoran asymptootin yhtälö saadaan jakamalla ensimmäisen asteen termien kertoimet \(a\) ja \(c\) keskenään: \(y= \frac{a}{c}\).

Nollakohta

Nollakohta on osoittajan nollakohta, jos se kuuluu funktion määrittelyjoukkoon. Nollakohtaa ei aina ole.

Huiput
Hyperbelin huiput ovat pisteet, joissa hyperbelin (toinen) symmetria-akseli leikkaa hyperbelin.