Laskuesimerkki: rationaalifunktion ominaisuuksia

Kuva 1

Kuvassa 1 on funktion \(h(x)=\frac{2x}{2x+4}\) kuvaaja, sen asymptootit ja symmetria-akseli. Laskuissa pyydetään usein määrittämään funktion määrittelyjoukko, kuvaajan asymptootit, symmetria-akselit ja huipun koordinaatit. Seuraavassa selvitetään nämä seikat laskemalla.

Määrittelyjoukko
Funktio \(h(x)\) on määritelty kaikilla muilla muuttujan \(x\) arvoilla, paitsi nimittäjän nollakohdalla. Merkitään nimittäjä nollaksi ja ratkaistaan yhtälö: \begin{align*} 2x+4&=0 \quad \Vert-4 \\ 2x&=-4 \quad \Vert :2 \\ x&=-2 \\ \end{align*} Määrittelyjoukko koostuu siis kaikista muista luvuista paitsi luvusta \(-2\) eli \(x\in\mathbb{R} \setminus \{-2\} \) (ns. määrittelyehto). Määrittelyjoukon merkintä: \(M_h=\mathbb{R} \setminus \{-2\} \).

Asymptootit
Pystysuoran asymptootin yhtälö saadaan nimittäjän nollakohdasta eli yhtälön \(2x+4=0\) ratkaisusta \(x=-2\).

Vaakasuoran asymptootin yhtälö (siis korkeus) saadaan ensimmäisen asteen kertoimien osamäärästä: \(\frac{2}{2}=1\), eli yhtälö on \(y=1\).

Symmetria-akselit
Hyperbeliä leikkaava symmetria-akseli (kuvan musta katkoviiva) kulkee asymptoottien leikkauspisteen ja hyperbelin huippujen kautta. Kulmakerroin on joko \(1\) tai \(-1\), eli tässä tapauksessa kuvaajan perusteella \(-1\). Suoran yhtälö on siis \(y=-x+b\), jonka vakiotermi \(b\) saadaan asymptoottien leikkauspisteen \((-2,1)\) avulla: \begin{align*} y&=-x+b \quad \Vert \:\text{Sijoitus } x=-2, y=1 \\ 1&=-(-2)+b \\ 1&=2+b \quad \Vert -2 \\ -1&=b \\ \end{align*} Tämän suoran yhtälö on siis \(y=-x-1\) ja vastaava funktio \(f(x)=-x-1\). Tämä symmetria-akseli on siinä mielessä tärkeä, että sen avulla saadaan selville hyperbelin huiput.

Toisen symmetria-akselin kulmakerroin on \(1\) ja vakio \(b\) saadaan samoin kuin yllä. Yhtälöksi saadaan \(y=x+3\).

Huiput
Huiput ovat pisteet, joissa toinen symmetria-akseleista leikkaa hyperbelin. Tämä lasketaan merkitsemällä funktiot yhtä suuriksi ja ratkaisemalla yhtälö: \begin{align*} h(x)&=f(x) \\ \frac{2x}{2x+4}&=-x-1 \quad \Vert \cdot (2x+4) \\ 2x&=(2x+4)(-x-1) \\ 2x&=-2x^2-2x-4x-4 \quad \Vert -2x\\ 0&=-2x^2-8x-4 \quad \Vert :(-2)\\ 0&=x^2+4x+2 \\ x^2+4x+2&=0 \\ \end{align*} Ratkaisu saadaan toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \begin{align*} x&=\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4 \cdot 1 \cdot 2}}{2} \\ &=\frac{-4\pm \sqrt{8}}{2} \\ &=\frac{-4\pm \sqrt{4 \cdot 2}}{2} \\ &=\frac{-4\pm \sqrt{4} \cdot \sqrt{2}}{2} \\ &=\frac{-4\pm 2 \sqrt{2}}{2} \\ &=-2\pm \sqrt{2} \\ \end{align*} Vastaavat funktion arvot (\(y\)) saadaan sijoittamalla vaikkapa suoran yhtälöön \(y=-x-1\)(helpompi): \begin{equation*}y_1=-(-2+ \sqrt{2})-1=2- \sqrt{2}-1 = 1- \sqrt{2}\end{equation*} ja \begin{equation*}y_2=-(-2- \sqrt{2})-1=2+ \sqrt{2}-1 = 1+ \sqrt{2}.\end{equation*} Huippujen tarkat arvot ovat siis seuraavat: \begin{equation*} (x,y)=(-2+ \sqrt{2}, 1- \sqrt{2}) \:\text{tai} \:(x,y)=(-2- \sqrt{2}, 1+ \sqrt{2}) \end{equation*} Ja samat kaksidesimaalisina likiarvoina: \begin{equation*} (x,y)=(-0,59; -0,41) \:\text{tai} \:(x,y)=(-3,41; 2,41) \end{equation*}

Huomaa, että aina laskujen tulokset eivät ole kivoja kokonaislukuja. Tällöin pitää ymmärtää tarkan arvon ja likiarvon ero.