\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

Määrätty integraali

Kuva 1

Integraalilaskennan avulla voidaan esimerkiksi laskea sellaisten alueiden pinta-aloja, joiden määrittäminen on muuten hankalaa, jos edes mahdollista. Ympyrän pinta-ala ja yleensä kaarevien viivojen rajoittamat pinta-alat ovat tyypillisiä tapauksia, joissa integrointi on erinomainen työkalu.

Integrointia käytetään myös esimerkiksi tilavuuksien tai käyrän pituuden laskemiseen tai vaikkapa fysiikassa kuljetun matkan laskemiseen nopeuden muuttuessa.

Määrätyssä integraalissa on annettu integroimisrajat ja tulos on luku.

Määrätyn integraalin taustalla on ajatus pinta-alan jakamisesta pienempiin ja pienempiin osiin. Kun ositusta (alan jakamista suorakulmioihin) jatketaan äärettömiin, saadaan määrätyn integraalin eli tässä tapauksessa pinta-alan arvo osien pinta-alojen summan raja-arvosta (havainnollistus Geogebralla).

Kuvassa 1 on funktion \(f(x)=-x^2+4\) kuvaaja. Värjätyn alueen pinta-ala lasketaan tällöin seuraavasti:

\begin{equation*} A=\left. \int\limits_{0}^{2}-x^{2}+4 \:\mathrm{d}x=\left (-\frac{1}{3}x^{3}+4x\right )\right |_0^2 \\ = -\frac{1}{3} \cdot 2^{3}+4 \cdot 2-\left (-\frac{1}{3} \cdot 0^{3}+4 \cdot 0\right )=-\frac{8}{3}+8=5\frac{1}{3} \end{equation*}

Tulos on tarkka arvo (kuvaan merkitty likiarvo). Huomaa, että määrätty integraali on laskettu integraalifunktion eli antiderivaatan avulla. Tämä yhteys ei ole lainkaan itsestäänselvä, mutta se on yksi matematiikan tärkeimmistä keksinnöistä. Analyysin ensimmäinen peruslause ilmaisee tämän yhteyden täsmällisesti.

Aina integraalifunktion määrittäminen ei onnistu, jolloin määrätyn integraalin arvo lasketaan numeerisesti. Tällöin vastaus on likiarvo.

Lähteitä ja lisätietoa: