\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

Määrätty integraali

Kuva 1

Integraalilaskennan avulla voidaan esimerkiksi laskea sellaisten alueiden pinta-aloja, joiden määrittäminen on muuten hankalaa, jos edes mahdollista. Ympyrän pinta-ala ja yleensä kaarevien viivojen rajoittamat pinta-alat ovat tyypillisiä tapauksia, joissa integrointi on erinomainen työkalu.

Integrointia käytetään myös esimerkiksi tilavuuksien tai käyrän pituuden laskemiseen tai vaikkapa fysiikassa kuljetun matkan laskemiseen nopeuden muuttuessa.

Määrätyssä integraalissa on annettu integroimisrajat ja tulos on luku.

Kuvassa 1 on funktion \(f(x)=-x^2+4\) kuvaaja. Värjätyn alueen pinta-ala lasketaan tällöin seuraavasti:

\begin{equation*} A=\left. \int\limits_{0}^{2}-x^{2}+4 \:\mathrm{d}x=\left (-\frac{1}{3}x^{3}+4x\right )\right |_0^2 \\ = -\frac{1}{3} \cdot 2^{3}+4 \cdot 2-\left (-\frac{1}{3} \cdot 0^{3}+4 \cdot 0\right )=-\frac{8}{3}+8=5\frac{1}{3} \end{equation*}

Tulos on tarkka arvo (kuvaan merkitty likiarvo).

Integraalin taustalla on ajatus pinta-alan jakamisesta pienempiin ja pienempiin osiin. Kun ositusta (paloittelua) jatketaan äärettömiin, saadaan integraalin eli tässä tapauksessa pinta-alan arvo osien pinta-alojen summan raja-arvosta (havainnollistus Geogebralla).

Saksalainen Bernhard Riemannin hyödynsi tällaista ajatusta integraalin määrittelyssä ja siitä syystä näin määriteltyä integraalia kutsutaan usein Riemannin integraaliksi.

Käytännössä määrätyn integraalin arvon laskemisessa pyritään määrittämään integraalifunktio, jonka avulla pinta-alaintegraalin arvo saadaan laskettua analyysin ensimmäisen peruslauseen mukaisesti.

Aina integraalifunktion määrittäminen ei onnistu, jolloin määrätyn integraalin arvo lasketaan numeerisesti. Tällöin vastaus on likiarvo.

Lähteitä ja lisätietoa: