Todennäköisyysjakauma
Todennäköisyysjakauma on matemaattinen malli, joka kuvaa satunnaismuuttujan mahdollisten arvojen (tai arvojoukkojen) todennäköisyyksiä.
Satunnaismuuttujan arvo on alkeistapahtumaan liitetty lukuarvo. Esimerkiksi kolikon heitossa voidaan sopia, että klaavaa vastaa satunnaismuuttujan arvo \(0\) ja kruunaa \(1\).
Satunnaismuuttujaa merkitään yleensä isolla kirjaimella \(X, Y, \)... ja sen yksittäistä arvoa vastaavalla pienellä kirjaimella \(x, y\), ... Merkintä \(P(X=x)\) eli \(p(x)\) merkitsee satunnaismuuttujan yksittäisen arvon todennäköisyyttä. Merkintä \(P(X\geq a)\) viittaa todennäköisyyteen "saada arvo, joka on vähintään a".
Todennäköisyysjakaumat jaetaan diskreetteihin ja jatkuviin muuttujan tyypin mukaisesti.
Esimerkki: Klaavojen lukumäärä, kun heitetään kolikkoa kaksi kertaa
Satunnaismuuttuja (jota merkitään usein isolla kirjaimella \(X\)), voi saada vain arvot 0, 1 ja 2, joten se on diskreetti. Todennäköisyyksien arvot saadaan luetteloimalla kaikki mahdolliset kahden heiton tulokset:
| Heitto 1 | Heitto 2 |
|---|---|
| kruuna | kruuna |
| kruuna | klaava |
| klaava | kruuna |
| klaava | klaava |
Nyt voidaan esittää klaavojen lukumäärien todennäköisyyksiä kuvaava todennäköisyysjakauma:
| X | P(X) |
|---|---|
| 0 | \(\frac{1}{4}\) |
| 1 | \(\frac{1}{2}\) |
| 2 | \(\frac{1}{4}\) |
Yhden klaavan todennäköisyys on muita suurempi, koska se saadaan kahdesta eri yhdistelmästä. Huomaa, että todennäköisyyksien summa \(\frac{1}{4} + \frac{1}{2} +\frac{1}{4} = 1\), mikä onkin todennäköisyysjakaumien yhteinen piirre.
Pari esimerkkiä käyttäen yllä mainittuja merkintöjä:
\(p(1)=\frac{1}{2}\)
\(P(X=1)=\frac{1}{2}\)
\(P(X>0)=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)
Lähteitä ja lisätietoa:
