Trigonometriset yhtälöt 1

Kuva 1

Kuva 2: yksikköympyrä

Tarkastellaan täällä yhtälöitä, jotka saadaan peruslaskutoimituksilla muokaten muotoon $\sin x=a$, $\cos x=a$ tai $\tan x=a$, jossa $a$ on jokin luku. Tuntematon on siis kulma, jota tässä merkitään kirjaimella $x$. Ratkaisut annetaan usein radiaaneina, vaikka asteitakin voidaan käyttää.

Perusaskeleet yhtälön ratkaisuun:

1. Muokkaa yhtälö muotoon, jossa trigonometrinen funktio on yksinään toisella puolella.
2. Selvitä yksi juuri muistikolmioiden tai laskimen avulla.
3. Päättele muut juuret yksikköympyrän avulla.

Esimerkki

Ratkaistaan yhtälö $\sqrt{2} \sin x -1 = 0$. Ensin askel 1:

$$\begin{align*} \sqrt{2} \sin x -1 &=0 \quad \Vert +1 \\ \sqrt{2} \sin x &=1 \quad \Vert : \sqrt{2} \\ \sin x &=\frac{1}{\sqrt{2}} \end{align*}$$

Funktion arvo on tuttu ja kulman yksi arvo saadaan muistikolmiosta (kuva 1):

$$\begin{equation*}x=45° = \frac{\pi}{4} \:\text{(rad)} \end{equation*}$$

Yksikköympyrästä (kuva 2) nähdään, että sinifunktio (kehäpisteen $y$-arvo) saa saman arvon pisteissä, jotka ovat yhtä kaukana $y$-akselistä. Näitä pisteitä vastaavat kulmat $\alpha$ ja $\pi -\alpha$. Yhtälön yhdeksi ratkaisuksi saatiin kulma $\frac{\pi}{4}$ (vastaa kuvassa 2 kulmaa $\alpha$ ), joten toinen kulma on $\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3}{4}\pi$.

Ratkaisu: Välillä $[0, 2\pi ]$ on yhtälölle kaksi ratkaisua: $x = \frac{\pi}{4}$ tai $x = \frac{3}{4}\pi$.

Jos kulma saa pyörähtää useamman kierroksen, kelpaavat samassa kohdassa olevat kulman arvot jokaisella kierroksella. Tällöin kaikki mahdolliset ratkaisut ilmoitetaan seuraavasti:

$x = \frac{\pi}{4} + n \cdot 2\pi \:\text{tai } x = \frac{3}{4}\pi +n \cdot 2\pi$, missä $n \in\mathbb{Z}$.