Ympyrän pinta-ala: integrointi

Yhtälön \(x^{2}+y^{2}=r^{2}\) ratkaisut muodostavat koordinaatistoon \(r\)-säteisen origokeskisen ympyrän. Yhtälö seuraa suoraan Pythagoraan lauseesta.

Ympyrä ei ole funktion kuvaaja, koska kullakin muuttujan \(x\) arvolla (reunapisteitä lukuunottamatta) ympyrällä on kaksi eri pistettä. Tämä nähdään myös ratkaisemalla yhtälö vaikkapa muuttujan y suhteen:

\begin{align*} x^{2}+y^{2}&=r^{2} \quad \Vert -x^2 \\ y^{2}&=r^{2}-x^2 \quad \Vert \sqrt{} \\ y&=\pm\sqrt{r^{2}-x^2} \\ \end{align*}

Funktion \(f(x)=\sqrt{r^{2}-x^{2}}\) kuvaaja antaa \(r\)-säteisen ympyrän ylemmän puolikkaan. Funktio on määritelty, kun juurrettava on ei-negatiivinen, eli kun \(-r \leq x \leq r\). Tällöin ympyrän pinta-alalle saadaan seuraava integraalimerkintä:

\begin{equation*}A_{\text{ympyrä}} = 2 \cdot \int\limits_{-r}^{r}f(x)\mathrm{d}x =2 \cdot \int\limits_{-r}^{r}\sqrt{r^{2}-x^{2}}\mathrm{d}x \end{equation*}

Toisaalta funktio \(f\) on parillinen: \(f(-x)=\sqrt{r^{2}-(-x)^{2}}=\sqrt{r^{2}-x^{2}}=f(x)\). Tästä seuraa, että funktion kuvaaja on symmetrinen \(y\)-akselin suhteen. Tällöin \(y\)-akselin eri puolille jäävät puoliympyrän osat ovat yhtä suuria ja integraali saadaan hiukan yksinkertaisempaan muotoon laskemalla neljännesympyrän pinta-ala, jota sitten kerrotaan neljällä:

\begin{equation*}A_{\text{ympyrä}} =4 \cdot \int\limits_{0}^{r}\sqrt{r^{2}-x^{2}}\mathrm{d}x \end{equation*}

Neliöjuurilauseke vaatii pienen kiertotien, koska integraalifunktio ei löydy ihan suoraan. Muokataan ensin neliöjuurilausetta hieman:

\begin{equation*} \sqrt{r^{2}-x^{2}} =\sqrt{r^{2}\left (1-\frac{x^{2}}{r^2}\right )} =r\sqrt{1-\frac{x^{2}}{r^2}} =r\sqrt{1-\left (\frac{x}{r}\right )^2} \end{equation*}

Yllä vakio \(r\) ei voi olla nolla, mutta se ei ole ongelma, koska yleensä ympyröiden säde on nollaa suurempi..

Muuttujanvaihto 1:

\begin{cases} u(x)=\frac{x}{r}\:\text{, jolloin } \frac{du}{dx}=\frac{1}{r} \Leftrightarrow dx = rdu\\ u(r)= \frac{r}{r}=1 \:\text{ ja } u(0)= \frac{0}{r}=0 \end{cases}

Saaduilla arvoilla integraali näyttää seuraavalta:

\begin{equation*} A_{\text{ympyrä}} =4 \cdot \int\limits_{0}^{r}r\sqrt{1-\left (\frac{x}{r}\right )^2}\mathrm{d}x \\ =4 r\cdot \int\limits_{0}^{1}\sqrt{1-u^2}\:r\:\mathrm{d}u =4 r^2\cdot \int\limits_{0}^{1}\sqrt{1-u^2}\:\mathrm{d}u \end{equation*}

Neliöjuuresta päästään eroon pienen trigonometria-askelen avulla, kun muistat seuraavan kaavan:

\begin{align*} \sin^2x+\cos^2x=1& \quad \Vert -\sin^2x\\ \cos^2=1-\sin^2x\\ \end{align*}

Muuttujanvaihto 2:

\begin{cases} u(t)=\sin{t}\: \text{, jolloin } \frac{du}{dt}=\cos{t} \Leftrightarrow du = \cos{t} \:dt\\ t(u)= \arcsin{u}=1 \Rightarrow t(0)=\arcsin{0} = 0\:\text{ ja } t(1)=\arcsin{1}= \frac{\pi}{2} \end{cases}

\begin{align*} A_{\text{ympyrä}} &=4 r^2\cdot \int\limits_{0}^{1}\sqrt{1-u^2}\:\mathrm{d}u \\ &=4 r^2\cdot \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-\sin^2 t}\cos t\:\mathrm{d}t \\ &=4 r^2\cdot \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\cos^2 t}\cos t\:\mathrm{d}t \\ &=4 r^2\cdot \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^2 t\:\mathrm{d}t \\ \end{align*}

Integraali alkaa jo näyttää aika laskettavalta. Helpoin tapa jatkaa lienee muokata toisen asteen kosinitermi ensimmäisen asteen lausekkeeksi seuraavan kaavan avulla:

\begin{equation*}\cos^2x=\frac{1+\cos 2x}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos 2x\end{equation*}

Nyt vain loppuun asti:

\begin{align*} A_{\text{ympyrä}} &=4 r^2\cdot \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^2 t\:\mathrm{d}t \\ &=4 r^2\cdot \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left (\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos 2x\right )\:\mathrm{d}t \\ &=4 r^2\cdot \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2}\:\mathrm{d}t+4 r^2\cdot \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2}\cos 2x\:\mathrm{d}t \\ &=r^2\cdot \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}2\:\mathrm{d}t+r^2\cdot \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}2\cos 2x\:\mathrm{d}t \\ &=r^2 \left ( \left. 2t\right|_{0}^{\frac{\pi}{2}}+ \left. \sin2x \right|_{0}^{\frac{\pi}{2}}\right ) \\ &=r^2 \left (\pi-0+ \sin\pi-\sin0\right ) \\ &=r^2 \left (\pi\right ) \\ &=\pi r^2 \\ \end{align*}

Toisin sanoen:

\begin{equation*}A_{\text{ympyrä}} = \pi r^2\end{equation*}

Ja sieltähän se tuttu kaava sitten tulla tupsahti! Aika monta vaihetta siinä oli, mutta jos tämän osaat tehdä, osaat varsin monta keskeista asiaa integraalilaskennasta!