Rationaalifunktion integrointi

Rationaalifunktio koostuu kahden polynomin osamäärästä \(\frac{f(x)}{g(x)}\), jossa \(f(x)\) ja \(g(x)\) ovat polynomifunktioita.

Tällaisen funktion integroinnissa funktioiden asteet ovat tärkeä yksityiskohta ja vihjaa usein ratkaisutavan suuntaan. Tavallisia menettelytapoja ovat esimerkiksi jakaminen termeittäin ja polynomien jakolasku.

Seuraavista kaavoista on usein apua:

\begin{equation} \int\limits_{}^{}\frac{1}{x}\:\mathrm{d}x = \ln \left |x\right | + C \quad\text{ja }\quad \int\limits_{}^{}\frac{f'(x)}{f(x)}\:\mathrm{d}x = \ln \left |f(x)\right | + C \label{ratintkaava1} \end{equation}

Alla on pari esimerkkiä perustapauksista:

Esimerkki 1

Olkoon funktio \(f(x)=\frac{x^2-3x}{x^2}\). Jaetaan ensin osoittajan termit erikseen:

\begin{equation*} \frac{x^2-3x}{x^2}=\frac{x^2}{x^2}-\frac{3x}{x^2} = 1-\frac{3}{x} \end{equation*}

Nyt integrointi menee suoraviivaisesti:

\begin{equation*} \int\limits_{}^{}f(x) \mathrm{d}x =\int\limits_{}^{}\left (1-\frac{3}{x}\right ) \mathrm{d}x =\int\limits_{}^{}1 \:\mathrm{d}x-\int\limits_{}^{}\frac{3}{x}\: \mathrm{d}x \\ =\int\limits_{}^{}1 \:\mathrm{d}x-3\int\limits_{}^{}\frac{1}{x}\: \mathrm{d}x =x -3\ln\left |x\right | +C \end{equation*}

Esimerkki 2

Olkoon funktio \(g(x)=\frac{x-3}{x^2-6x}\). Muokataan niin, että saadaan osoittajaan nimittäjän derivaatta \(2x-6\):

\begin{equation*} \frac{x-3}{x^2-6x} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{x-3}{x^2-6x} =\frac{1}{2} \cdot \frac{2(x-3)}{x^2-6x} =\frac{1}{2} \cdot \frac{2x-6}{x^2-6x} \end{equation*}

Nyt integrointi menee peruskaavan \(\eqref{ratintkaava1}\) avulla:

\begin{equation*}\int\limits_{}^{}g(x) \:\mathrm{d}x = \int\limits_{}^{}\left (\frac{1}{2} \cdot \frac{2x-6}{x^2-6x}\right ) \:\mathrm{d}x = \\ \frac{1}{2} \cdot \int\limits_{}^{}\left (\frac{2x-6}{x^2-6x}\right ) \:\mathrm{d}x = \frac{1}{2} \ln\left |x^2-6x\right | +C \end{equation*}

Yllä integroimisvakio \(C\) on mielivaltainen reaalilukuvakio.