<>
Summakaavan todistus Todistus
Sn a 1 + a 2 + a 3 + ... + a n− 1 + a n a 1 ⋅ q 0 +
a 1 ⋅ q 1 +
a 1 ⋅ q 2 + ... +
a 1 ⋅ q n − 2+
a 1 ⋅ q n − 1
Ovela kohta: muodostetaan toinen summa kertomalla ensimmäistä luvulla q
q ⋅ Sn q ⋅ a 1 + q ⋅ a 2 + q ⋅ a 3 + ... + q ⋅ a n− 1 + q ⋅ a n
= a 1 ⋅ q 1 +
a 1 ⋅ q 2 +
a 1 ⋅ q 3 + ... +
a 1 ⋅ q n − 1+
a 1 ⋅ q n
Ja vähennetään sitten ensimmäisestä summasta toinen:
Sn − q ⋅ Sn a 1 ⋅ q 0 +
a 1 ⋅ q 1 +
a 1 ⋅ q 2 + ... +
a 1 ⋅ q n − 2+
a 1 ⋅ q n − 1−
( a 1 ⋅ q 1 +
a 1 ⋅ q 2 +
a 1 ⋅ q 3 + ... +
a 1 ⋅ q n − 1+
a 1 ⋅ q n )
= a 1 ⋅ q 0 +
a 1 ⋅ q 1 +
a 1 ⋅ q 2 + ... +
a 1 ⋅ q n − 2+
a 1 ⋅ q n − 1
− a 1 ⋅ q 1 −
a 1 ⋅ q 2 −
a 1 ⋅ q 3 − ... −
a 1 ⋅ q n − 1−
a 1 ⋅ q n
Nyt huomataan, että yhtälöstä yllä häviää melkein kaikki termit, paitsi ensimmäinen ja viimeinen (yhtä suuret vastakkaismerkkiset termit nollaantuvat).
Sn − q ⋅ Sn a 1 ⋅ q 0 −
a 1 ⋅ q n
Eli (huomaa että q 0 = 1Sn − q ⋅ Sn n ( 1 − q) )
Sn ( 1 − q) =
a1 −
a1 ⋅ q n joka voidaan kirjoittaa seuraavasti :
Sn ( 1 − q) =
a1 ( 1 − qn ) ║ jaetaan kumpaakin puolta lausekkeella ( 1 − q) :
