Yhteenlaskumenetelmä

Tarkastellaan seuraavaa yhtälöparia: \[ \begin{cases} 2y = -x + 6 \\ y = 2x - 7 \end{cases} \]

Muokkaa yhtälöä niin, että yhden muuttujan (tässä \(x\) tai \(y\)) kertoimet yhtälöiden samalla puolella ovat joko samat tai vastaluvut. Eliminoi sitten kyseinen muuttuja laskemalla yhtälöt yhteen tai vähentämällä toisistaan. Tämän jälkeen toinen muuttuja ratkaistaan syntyneestä yhden muuttujan yhtälöstä.

\begin{cases} 2y = -x + 6 \\ y = 2x - 7 \end{cases}	Kerrotaan ylempää yhtälöä kahdella, jolloin \(x\)-muuttujien kertoimiksi saadaan \(2\) ja \(-2\) (vastaluvut).
\begin{cases} 4y = -2x + 12 \\ y = 2x - 7 \end{cases}	Lasketaan yhtälöt yhteen, jolloin \(x\)-muuttujat katoavat:

\begin{align*} 4y + y &= -2x + 12 +2x - 7 \\ 5y &= 5 \quad \Vert:5 \\ y &= 1 \end{align*}

Muuttuja \(x\) saadaan nyt selville sijoittamalla \(y\):n arvo toiseen alkuperäisistä yhtälöistä. Valitaan niistä nyt alempi (ehkä hiukan helpommat laskut).

\begin{align*} 1 &= 2x - 7 \quad \Vert -2x \\ -2x+1 &= -7 \quad \Vert -1 \\ -2x &= -8 \quad \Vert :(-2)\\ x & = 4 \end{align*}

Yhtälöparin ratkaisu on lukupari \((x,y) = (4,1)\)

Ratkaisu kannattaa aina tarkistaa sijoittamalla saadut arvot alkuperäisiin yhtälöihin ja katsomalla, että kumpikin yhtälö on voimassa.

Huomautus: kaikki yhtälöparit voi ratkaista myös sijoitusmenetelmällä. Joissakin yhtälöpareissa yhteenlaskumenetelmä on helpompi.