Polynomifunktion ääriarvot suljetulla välillä

Kuva 1

Polynomifunktion tutkimista on joskus järkevää rajoittaa määrittelyjoukkoa pienemmälle välille.

Väli on suljettu, jos välin päätepisteet kuuluvat väliin. Esimerkiksi väli \([1, 2]\) on suljettu (huomaa hakasulkujen suunta).

Suljetulla välillä polynomifunktiolla on aina sekä maksimi että minimi. Nämä arvot ovat joko derivaatan nollakohdassa tai välin päätepisteessä. Maksimi / minimin määrittämiseksi pitää laskea funktion arvot sekä derivaatan nollakohdissa että välin päätepisteissä ja niistä valita suurin / pienin.

Esimerkki

Laske funktion \(f(x)=\frac{1}{6}x^3-\frac{3}{4}x^2-2x+5\) ääriarvot välillä \(x\in [-2, 5]\).

Ratkaisu: Lasketaan ensin derivaatan nollakohdat:

\begin{align*} f'(x)& = 0 \\ \frac{1}{2}x^2-\frac{6}{4}x-2& = 0 \quad \Vert \cdot 2\\ x^2-3x-4& = 0 \\ (x+1)(x-4)& = 0 \\ x+1=0& \:\text{ tai } x-4=0 \\ x=-1 &\:\text{ tai } x=4 \\ \end{align*}

Polynomifunktiona \(f\) saa varmasti suljetulla välillä suurimman ja pienimmän arvon. Arvot ovat joko välin päätepisteissä ja derivaatan nollakohdissa. Lasketaan siis funktion \(f\) arvot kyseisissä kohdissa, tässä tapauksessa laskimella laskujen nopeuttamiseksi:

\(f(-2)=\frac{14}{3}=\frac{56}{12}\)

\(f(-1)=\frac{73}{12}\)

\(f(4)=-\frac{13}{3}=-\frac{52}{12}\)

\(f(5)=-\frac{35}{12}\)

Tehdään sitten tuloksista taulukko, josta nähdään funktion käyttäytyminen (derivaatan merkit kokeiltu laskimella):

\(x\)		-1		4
\(f'(x)\)	\(+\)		\(-\)		\(+\)
\(f(x)\)	\(↗\)		\(↘\)		\(↗\)

Vastaus: funktion maksimi välillä \(x\in [-2, 5]\) on \(\frac{73}{12} = 6\frac{1}{12}\) ja minimi \(-\frac{13}{3}=-4\frac{1}{3}\).

Kuvassa 1 on funktion kuvaaja ja katkoviivoilla tarkasteluvälin päätepisteet. Kuvakin näyttää, että paikalliset ääriarvot ovat kyseisen välin suurin ja pienin arvo.