Funktion kuvaajien leikkauspisteet

Kuva 1

Kahden funktion kuvaajat leikkaavat, kun funktiot saavat saman arvot samalla muuttujan arvolla.

Esimerkiksi funktiot \(f(x)\) ja \(g(x)\) leikkaavat, jos löytyy ainakin yksi muuttujan \(x\) arvo, jolla \(f(x)=g(x)\).

Tyypillinen ongelma on saada selville kahden funktion kuvaajien leikkauskohdat. Tällöin menetellään tavallisesti seuraavasti:

1. Merkitse funktioiden arvot yhtä suuriksi.
2. Ratkaise syntyvä yhtälö, jolloin saat leikkauspisteiden x-koordinaatit selville.
3. Leikkauspisteen y-koordinaatin saat selville laskemalla jomman kumman funktion arvon niin, että muuttujan arvoksi asetetaan edellä saatu yhtälön ratkaisu. Tämän jälkeen on selvillä tarkka leikkauspiste \((x, y)\). Toista menettely, jos ratkaisuja oli useita.

Esimerkki:

Kuvan 1 kuvaajat leikkaavat kahdessa pisteessä. Pisteet saadaan selville laskemalla seuraavasti:

\begin{align*} f(x)&=g(x) \\ -x^2+4&=x+4 \quad \Vert -4 \\ -x^2&=x \quad \Vert -x \\ -x^2-x&=0 \\ -x(x+1)&=0 \\ x=0 & \:\text{tai } x+1=0 \\ x=0 & \:\text{tai } x=-1 \\ \end{align*}

Vastaavat y-koordinaatit ovat \(g(0)=4\) ja \(g(-1)=3\). Leikkauspisteet ovat siis \((-1, 3)\) ja \((0, 4)\), jotka näyttävät kovasti samalta kuin kuvassa.

Huomautus: yllä valittiin y-koordinaattien laskuun funktio \(g\), koska se on helpompi. Sama tulos tulee myös funktiolla \(f\).