\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

Logaritmifunktion derivointi (luonnollinen logaritmi)

Muotoa \(f(x)=\ln{x}\) oleva funktio on määritelty, kun \(x>0\). Tällöin funktion derivaatta on

\begin{equation*}f'(x)=\frac{1}{x}\end{equation*}

Jos logaritmin sisällä on jokin funktio (ns. sisäfunktio), pitää muistaa derivoidessa kertoa sisäfunktion derivaatalla:

\begin{equation*}g(x)=\ln{\left (h(x)\right )} \Rightarrow g'(x)=\frac{1}{h(x)} \cdot h'(x)=\frac{h'(x)}{h(x)}\end{equation*}

Esimerkki

Olkoon \(f(x)=\ln\left ({x^{3}-3x+4}\right )\). Tällöin funktion \(f\) derivaatta on

\begin{equation*}f'(x) =\frac{1}{x^{3}-3x+4}\cdot D\left (x^{3}-3x+4\right ) =\frac{3x^{2}-3}{x^{3}-3x+4}\end{equation*}