Logaritmifunktion derivointi (luonnollinen logaritmi)

Muotoa $f(x)=\ln{x}$ oleva funktio on määritelty, kun $x>0$. Tällöin funktion derivaatta on

$$\begin{equation*}f'(x)=\frac{1}{x}\end{equation*}$$

Jos logaritmoitava on jokin funktio (ns. sisäfunktio), pitää muistaa derivoidessa kertoa sisäfunktion derivaatalla:

$$\begin{equation*}g(x)=\ln{\left (h(x)\right )} \Rightarrow g'(x)=\frac{1}{h(x)} \cdot h'(x)=\frac{h'(x)}{h(x)}\end{equation*}$$

Esimerkki

Olkoon $f(x)=\ln\left ({x^{3}-3x+4}\right )$. Tällöin funktion $f$ derivaatta on

$$\begin{equation*}f'(x) =\frac{1}{x^{3}-3x+4}\cdot D\left (x^{3}-3x+4\right ) =\frac{3x^{2}-3}{x^{3}-3x+4}\end{equation*}$$