Esimerkki Bayesin kaavan käytöstä

Laatikossa A on yksi musta ja yksi valkea pallo. Laatikossa B on kaksi mustaa ja neljä valkeaa palloa. Valitaan sattumanvaraisesti ensin laatikko ja sitten sieltä pallo. Pallo on musta. Millä todennäköisyydellä pallo otettiin laatikosta A?

Tehtävä on hyvin yleisesti esiintyvän tehtävän muunnelma, jonka ratkaisu ei ole ihan helppo keksiä ilman työkaluja. Bayerin lauseen avulla ratkaisu löytyy kuitenkin melko suoraviivaisesti.

Merkitään todennäköisyyksiä seuraavasti:

• \(P(A)\) - todennäköisyys valita laatikko A
• \(P(\text{musta} \vert A)\) - todennäköisyys saada musta pallo laatikosta A (tarkastellaan vain laatikkoa A)
• \(P(\text{musta})\) - todennäköisyys saada musta pallo
• \(P(A \vert \text{musta})\) - todennäköisyys laatikon A valinnalle, kun tiedetään, että valittu pallo on musta. Toisin sanoen tarkastellaan vain niitä tapahtumia, joiden lopputulos on musta pallo. Tätä kysytään!

Lasketaan todennäköisyydet:

• \(P(1) = \frac{1}{2}\) (kaksi laatikkoa, joista yksi suotuisa)
• \(P(\text{musta}\vert A) = \frac{1}{2}\) (laatikossa A on kaksi palloa, joista yksi on musta)
• \(P(\text{musta}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{4}+ \frac{1}{6}=\frac{5}{12}\)
  (kaksi tapaa: joko (laatikko A JA musta) TAI (laatikko B JA musta) -> todennäköisyyksien tulojen summa)

Bayesin kaava:

\begin{align*} P(A \vert \text{musta})&=\frac{P(A)\cdot P(\text{musta}\vert A)}{P(\text{musta})} \\ &=\frac{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}}{\frac{5}{12}} =\frac{\frac{1}{4}}{\frac{5}{12}} \\ &=\frac{1}{4}\cdot \frac{12}{5} =\frac{12}{20}=\frac{3}{5} \\ \end{align*}

Vastaus: pallo otettiin alunperin laatikosta A todennäköisyydellä \(3/5 = 60\)%.

Huomautus: vastaus vaikuttaa järkevältä siinä mielessä, että mustan pallon saaminen laatikosta B olisi epätodennäköisempää kuin laatikosta A. Näin on loogista, että pallo tulee luultavammin laatikosta A.

Testaa tulos simulaattorilla osoitteessa https://kerkkaju.github.io/webdev/js/math_simulations/twoBasketsPickaBall.html (red vastaa mustaa).