Todistus vektorien ja suoran parametriesityksen avulla

Olkoon suoran \(s\) yhtälö \(ax+by+c=0\) ja jokin tason piste \(A=(x_0, y_0)\). Osoitetaan, että suoran \(s\) ja pisteen \(A\) välinen (lyhin) välimatka \(d\) saadaan kaavalla

\begin{equation*} d=\frac{\left |ax_0+by_0+c\right |}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \end{equation*}

Todistus:

Suoran \(s\) eräs normaalivektori on \(a\vec{i}+b\vec{j}\) (perustelu erillisessä artikkelissa).

Seuraavaksi määritellään sellainen suoran \(s\) normaali, joka kulkee pisteen \(A\) kautta. Normaalin yhtälö on tässä näppärä esittää parametriesityksenä, joka saadaan normaalivektorin avulla seuraavasti:

\begin{equation*} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_0 \\ y_0 \end{bmatrix} +t \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} \end{equation*}

Parametriesityksessä \(x\) ja \(y\) käyvät läpi kaikki normaalisuoran pisteet, kun parametri \(t\) käy läpi kaikki reaaliluvut. Muuttujille \(x\) ja \(y\) saadaan esityksestä seuraavat arvot:

\begin{cases} x=at +x_0\\ y=bt +y_0 \end{cases}

Pisteen \(A\) ja minkä tahansa normaalisuoran pisteen \(B=(x,y)\) välimatka saadaan nyt Pythagoraan lauseen avulla:

\begin{equation*} \left |AB\right |=\sqrt{(x_0-x)^{2}+(y_0-y)^{2}} \\ =\sqrt{(x_0-(at+x_0))^{2}+(y_0-(bt+y_0))^{2}} \\ =\sqrt{(-at)^{2}+(-bt)^{2}} \\ =\sqrt{(at)^{2}+(bt)^{2}} \\ =\sqrt{t^{2}(a^{2}+b^{2})} \\ =\left |t\right |\sqrt{a^{2}+b^{2}} \\ \end{equation*}

Huomaa itseisarvomerkit parametrin \(t\) ympärillä viimeisessä lausekkeessa. Ne tarvitaan, jos \(t\) sattuisi olemaan negatiivinen.

Nyt riittää määrittää parametrin \(t\) arvo silloin, kun normaali leikkaa suoran \(s\), koska kohtisuora etäisyys pisteen ja suoran välillä on välttämättä lyhin. Parametrin arvo saadaan selville sijoittamalla normaalisuoran pisteelle \((x,y)\) saadut arvot suoran \(s\) yhtälöön:

\begin{align*} a(at+x_0)+b(bt+y_0)+c&=0 \\ a^{2}t+ax_0+b^{2}t+by_0+c&=0 \quad \Vert-(ax_0+by_0+c) \\ a^{2}t+b^{2}t&=-(ax_0+by_0+c) \\ t(a^{2}+b^{2})&=-(ax_0+by_0+c) \quad \Vert :t\\ t&=\frac{-(ax_0+by_0+c)}{a^{2}+b^{2}} \end{align*}

Nyt kaikki palikat ovat koossa, joten lopullinen etäisyyden kaava saadaan sijoittamalla:

\begin{equation*} d =\left |t\right |\sqrt{a^{2}+b^{2}} \\ =\left |\frac{-(ax_0+by_0+c)}{a^{2}+b^{2}}\right |\sqrt{a^{2}+b^{2}} \\ \\ =\frac{\left |-(ax_0+by_0+c)\right |\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \\ \\ =\frac{\left |ax_0+by_0+c\right |}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \Box\\ \end{equation*}