Todistus: pisteen etäisyys tasosta

Olkoon avaruuden tason \(\alpha \) yhtälö \(ax+by+cx+d=0\) ja jokin avaruuden piste \(A=(x_0, y_0, z_0)\). Osoitetaan, että tason \(\alpha \) ja pisteen \(A\) välinen (lyhin) välimatka \(d\) saadaan kaavalla

\begin{equation*} d=\frac{\left |ax_0+by_0+cz_0+d\right |}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} \end{equation*}

Todistus:

Tason \(\alpha \) eräs normaalivektori on \(a\vec{i}+b\vec{j}+c\vec{k}\) eli lyhyesti \((a, b, c)\) (perustelu erillisessä artikkelissa).

Seuraavaksi määritellään sellainen tason \(\alpha \) normaali, joka kulkee pisteen \(A\) kautta. Normaalin yhtälö on tässä näppärä esittää parametriesityksenä, joka saadaan normaalivektorin avulla seuraavasti:

\begin{equation*} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_0 \\ y_0 \\ z_0 \end{bmatrix} +t \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} \end{equation*}

Parametriesityksessä \(x\), \(y\) ja \(z\) käyvät läpi kaikki normaalisuoran pisteet, kun parametri \(t\) käy läpi kaikki reaaliluvut. Muuttujille \(x\), \(y\) ja \(z\) saadaan esityksestä seuraavat arvot:

\begin{cases} x=at +x_0\\ y=bt +y_0\\ z=ct + z_0 \end{cases}

Pisteen \(A\) ja minkä tahansa normaalisuoran pisteen \(B=(x,y,z)\) välimatka saadaan nyt Pythagoraan lauseen avulla:

\begin{equation*} \left |AB\right |=\sqrt{(x_0-x)^{2}+(y_0-y)^{2}+(z_0-z)^{2}} \\ =\sqrt{(x_0-(at+x_0))^{2}+(y_0-(bt+y_0))^{2}+(z_0-(ct+z_0))^{2}} \\ =\sqrt{(-at)^{2}+(-bt)^{2}+(-ct)^{2}} \\ =\sqrt{(at)^{2}+(bt)^{2}+(ct)^{2}} \\ =\sqrt{t^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})} \\ =\left |t\right |\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}} \\ \end{equation*}

Huomaa itseisarvomerkit parametrin \(t\) ympärillä viimeisessä lausekkeessa. Ne tarvitaan, jos \(t\) sattuisi olemaan negatiivinen.

Nyt riittää määrittää parametrin \(t\) arvo silloin, kun normaali leikkaa tason \(\alpha \), koska kohtisuora etäisyys pisteen ja tason välillä on välttämättä lyhin. Parametrin arvo saadaan selville sijoittamalla normaalisuoran pisteelle \((x,y,z)\) saadut arvot tason \(\alpha \) yhtälöön:

\begin{align*} a(at+x_0)+b(bt+y_0)+c(ct+z_0)+d&=0 \\ a^{2}t+ax_0+b^{2}t+by_0+c^{2}t+cz_0 +d&=0 \quad \Vert-(ax_0+by_0+cz_0+d) \\ a^{2}t+b^{2}t+c^{2}t&=-(ax_0+by_0+cz_0+d) \\ t(a^{2}+b^{2}+c^{2})&=-(ax_0+by_0+cz_0+d) \quad \Vert :(a^{2}+b^{2}+c^{2})\\ t&=\frac{-(ax_0+by_0+cz_0+d)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} \end{align*}

Nyt kaikki palikat ovat koossa, joten lopullinen etäisyyden kaava saadaan sijoittamalla:

\begin{equation*} d =\left |t\right |\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}} \\ =\left |\frac{-(ax_0+by_0+cz_0+d)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\right |\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}} \\ \\ =\frac{\left |-(ax_0+by_0+cz_0+d)\right |\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} \\ \\ =\frac{\left |ax_0+by_0+cz_0+d\right |}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} \Box\\ \end{equation*}