Logaritmikaavojen perustelut

Alla perustelut logaritmikaavoihin. Muuttujat \(a, x\) ja \(y\) ovat mielivaltaisia positiivisia lukuja sillä ehdolla, että \(a\neq 1\).

1. \begin{equation}\log_{a}{1}=0\end{equation} Perustelu: \(\displaystyle{a^0=1}\) kaikilla luvuilla \(a\neq 0\)
2. \begin{equation}\log_{a}{a}=1\end{equation} Perustelu: \(\displaystyle{a^1=a}\) kaikilla luvuilla \(a\)
3. \begin{equation}a^{\log_{a}{x}}=x\end{equation} Perustelu: suoraan määritelmästä
4. \begin{equation}e^{\ln{x}}=x\end{equation} Perustelu: suoraan määritelmästä
5. \begin{equation}\log_{a}{(x^b)}=b\log_{a}{(x)}\end{equation} Perustelu: \(\displaystyle{ \log_{a}{(x^b)} =\log_{a}{\left ( \left (a^{\log_{a}{x}}\right )^b\right )} =\log_{a}{ \left (a^{b\log_{a}{x}}\right )} =b\log_{a}{x} }\)
6. \begin{equation}\log_{a}{(xy)}=\log_{a}{x} + \log_{a}{y}\end{equation} Perustelu: \(\displaystyle{ \log_{a}{(xy)}=\log_{a}{\left (a^{\log_{a}{x}} \cdot a^{\log_{a}{y}}\right )}=\log_{a}{\left (a^{\log_{a}{x}+\log_{a}{y}}\right )}=\log_{a}{x} + \log_{a}{y} }\)
7. \begin{equation}\log_{a}{\left (\frac{x}{y}\right )}=\log_{a}{x} - \log_{a}{y}\end{equation}Perustelu: \(\displaystyle{ \log_{a}{\left (\frac{x}{y}\right )} =\log_{a}{\left (\frac{a^{\log_{a}{x}}}{a^{\log_{a}{y}}}\right )} =\log_{a}{\left (a^{\log_{a}{x}-\log_{a}{x}}\right )} =\log_{a}{x} - \log_{a}{y} \\ }\)