Suoran yhtälö kahden pisteen avulla \((y=kx+b)\)

Kaksi pistettä riittää määrittämään suoran täsmällisesti. Jos tunnetaan kahden pisteen koordinaatit, saadaan niiden kautta kulkevan suoran yhtälö seuraavasti (ellei suora pystysuorassa):

Suoran yleinen yhtälö voidaan antaa muodossa \(y=kx+b\), jossa \(k\) on suoran kulmakerroin ja \(b\) vakiotermi (y-akselin ylityskorkeus). Olkoot tunnetut pisteet \((x_1, y_1)\) ja \((x_2, y_2)\). Riittää määrittää \(k\) ja \(b\).

1) Kulmakerroin \(k\) saadaan suoralla laskulla:

\begin{equation*}k=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\end{equation*}

2) Vakiotermin \(b\) selvittämistä varten sijoitetaan yhtälöön \(y=kx+b\) muuttujien \(x\) ja \(y\) paikalle jomman kumman tunnetun pisteen koordinaatit. Tämän jälkeen yhtälössä on vain yksi tuntematon \(b\), joka saadaan selville ratkaisemalla yhtälö (kulmakerroinhan tunnetaan jo).

Esimerkki

Olkoot tunnetut pisteet \((1, 2)\) ja \((-2, -7)\). Määritetään pisteiden kautta kulkevan suoran yhtälö.

1) Kulmakerroin :

\begin{equation*}k=\frac{2-(-7)}{1-(-2)}=\frac{2+7}{1+2}=\frac{9}{3}=3\end{equation*}

Nyt tiedetään, että yhtälö on muotoa \(y=3x+b\). Selvitetään vakio \(b\).

2) Sijoitetaan ensimmäisen tunnetun pisteen \((1, 2)\) koordinaatit \(x=1\) ja \(y=2\) yhtälöön \(y=3x+b\) ja ratkaistaan \(b\):

\begin{align*} y&=3x+b \\ 2&=3\cdot 1+b \quad \Vert-3 \\ -1&=b \\ \end{align*}

Vastaus: kyseisen suoran yhtälö on \(y=3x-1\).

Huom: jos suora on pystysuorassa, ei kulmakertoimen laskeminen onnistu. Tällöin suoran yhtälö on muotoa \(x=a\), jossa vakio \(a\) antaa suoran ja \(x\)-akselin leikkauskohdan. Yhtälössä ei tarvita muuttujaa \(y\), koska se ei vaikuta lainkaan muuttujaan \(x\), jonka arvo ei muutu.