Painotettu keskiarvo

Aritmeettinen keskiarvo lasketaan yksinkertaisimmillaan niin, että jokainen arvo vaikuttaa keskiarvoon yhtä paljon. Esimerkiksi lukujen \(3, 1\) ja \(8\) keskiarvo saadaan seuraavasti:

\begin{equation*} \overline{x}=\frac{3+1+8}{3}=\frac{12}{3}=4 \end{equation*}

Muokataan vähän:

\begin{equation*} \overline{x}=\frac{3+1+8}{3}=\frac{1}{3}\left (3+1+8\right )=\frac{1}{3} \cdot 3+\frac{1}{3} \cdot 1+\frac{1}{3} \cdot 8 \end{equation*}

Tästä nähdään, että ns. painokerroin \(\frac{1}{3}\) on kaikissa sama. Huomaa, että painokerrointen summa on aina yksi:

\begin{equation*}\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1\end{equation*}

Kun joitakin arvoja halutaan painottaa enemmän kuin toisia, muutetaan painokertoimia. Pitää vain huolehtia, että niiden summa pysyy yhtenä. Esimerkiksi painoilla 20 %, 20 % ja 60 % saadaan seuraava painotettu keskiarvo:

\begin{equation*} \overline{x}_p=0,\!2 \cdot 3+0,\!2 \cdot 1+0,\!6 \cdot 8=0,\!6+0,\!2+4,\!8=5,\!6 \end{equation*}

Painot voidaan ilmaista vaikkapa kokonaislukuina. Esimerkiksi painoista \(1\), \(1\) ja \(3\) saadaan normitetut painokertoimet jakamalla kutakin painojen summalla. Normittaminen tarvitaan, jotta painokerrointen summa on yksi.

\begin{equation*} \overline{x}_p=\frac{1}{5} \cdot 3+\frac{1}{5} \cdot 1+\frac{3}{5} \cdot 8= \frac{3}{5}+\frac{1}{5}+\frac{24}{5}=\frac{28}{5}=5\frac{3}{5} \end{equation*}

Tulos on sama kuin aiemmassa, kuten loogista onkin. Kummassakin kahden ensimmäisen arvon paino on sama ja kolmannen kolminkertainen muihin verrattuna. Prosenttien tapauksessa painot ovat vain valmiiksi normitetut, eli niiden summa on yksi.