Laskuesimerkkejä (normaalijakauma)

Normaalijakaumaan liittyvät laskut tehdään yleensä laskimella. Täällä esimerkeissä ajatellaan, että käytössä on Ti-nspire tai vastaavan tasoinen laskin, jolloin laskin hoitaa suuren osan töistä automaattisesti.

Juoksutesti (perustapaukset)

Laajassa kuntotutkimuksessa osallistuneet juoksivat Cooperin testin (12 minuutin juoksu). Havaittiin, että tulokset noudattivat normaalijakaumaa odotusarvolla 2200 m ja keskihajonnalla 400 m. Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valittu juoksija juoksi a) korkeintaan 2000 metriä b) vähintään 3000 metriä ja c) vähintään 2000 mutta korkeintaan 3000 metriä?

Ratkaisu: Normaalijakauman avulla saadaan todennäköisyydet laskemalla kuvaajan ja x-akselin välisen alueen pinta-ala. Laskin tarvitsee tätä varten välin ala- ja ylärajan, odotusarvon ja keskihajonnan. Odotusarvo ja keskihajonta annetaan suoraan tehtävässä. Laskimella saadaan seuraavat tulokset (Ti-nspire: menu \(\to\) 5 \(\to\) 5 \(\to\) 2):

1. Alaraja \(= -\infty\), yläraja \(=2000\), joten \(P(2000\leq X) \approx 0,\!30854\).
   Vastaus: noin \(30,\!9\) prosentin todennäköisyydellä.
2. Alaraja \(= 3000\), yläraja \(=\infty\), joten \(P(3000\leq X) \approx 0,\!02275\).
   Vastaus: noin \(2,\!3\) prosentin todennäköisyydellä.
3. Alaraja \(=2000\), yläraja \(=3000\), joten \(P(2000\leq X\leq 2000) \approx 0,\!66871\).
   Vastaus: noin \(66,\!9\) prosentin todennäköisyydellä.

Huomaa, että tapaukset kattavat koko lukusuoran, joten vastausten summa on 1. Samoin komplementtitapauksia käytetään usein. esim. \(P(3000\leq X) = 1- P(X < 3000)\)

Juoksutesti 2 (tuntematon yläraja)

Samaisessa testissä huomattiin, että 60 % testatuista eivät päässeet tietyn matkan yli. Mikä tämä matka oli?

Ratkaisu: Tuntematon on tässä yläraja. Merkitään ylärajaa eli kysyttyä matkaa kirjaimella \(x\). Saadaan yhtälö \begin{equation*}P(X \leq x)=0,6\end{equation*} Laskin (Ti-nspire ainakin) osaa ratkaista yhtälön suoraan:

solve(normCdf(−∞,x,2200,400)=0.6,x) \(\Rightarrow x\approx 2301 \) m

Vastaus: Kyseinen matka oli noin 2301 metriä, jota 60 prosenttia juoksijoista ei pystynyt ylittämään.

Huom: Ti-nspire ratkaisee samoin tapauksen, jossa odotusarvo on tuntematon. Sen sijaan jos keskihajonta on tuntematon, pitää yhtälön perään asettaa muuttujalle rajoite, esim. |x>0. Muuten ei suostu laskemaan. Jokin järkevä syy tälle lienee..

Huom2: muuttujan rajoite tarvitaan näköjään myös joissakin muissa tapauksissa (esim. tuntematon alaraja, kun yläraja äärellinen). Eli jos laskin ei ratkaise normaalijakaumayhtälöä, joka näyttää järkevältä, kokeile lisätä perään tuo rajoite (jonka luvun suuruuskin vaikuttaa siihen, laskeeko vai ei...).