Laskuesimerkkejä (normaalijakauma)

Normaalijakaumaan liittyvät laskut tehdään yleensä laskimella. Täällä esimerkeissä ajatellaan, että käytössä on Ti-nspire tai vastaavan tasoinen laskin, jolloin laskin hoitaa suuren osan töistä automaattisesti.

Juoksutesti (perustapaukset)

Laajassa kuntotutkimuksessa osallistuneet juoksivat Cooperin testin (12 minuutin juoksu). Havaittiin, että tulokset noudattivat normaalijakaumaa odotusarvolla 2200 m ja keskihajonnalla 400 m. Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valittu juoksija juoksi a) korkeintaan 2000 metriä b) vähintään 3000 metriä ja c) vähintään 2000 mutta korkeintaan 3000 metriä?

Ratkaisu: Normaalijakauman avulla saadaan todennäköisyydet laskemalla kuvaajan ja x-akselin välisen alueen pinta-ala. Laskin tarvitsee tätä varten välin ala- ja ylärajan, odotusarvon ja keskihajonnan. Odotusarvo ja keskihajonta annetaan suoraan tehtävässä. Laskimella saadaan seuraavat tulokset (Ti-nspire: menu \(\to\) 5 \(\to\) 5 \(\to\) 2):

1. Alaraja \(= -\infty\), yläraja \(=2000\), joten \(P(2000\leq X) \approx 0,\!30854\).
   Vastaus: noin \(30,\!9\) prosentin todennäköisyydellä.
2. Alaraja \(= 3000\), yläraja \(=\infty\), joten \(P(3000\leq X) \approx 0,\!02275\).
   Vastaus: noin \(2,\!3\) prosentin todennäköisyydellä.
3. Alaraja \(=2000\), yläraja \(=3000\), joten \(P(2000\leq X\leq 2000) \approx 0,\!66871\).
   Vastaus: noin \(66,\!9\) prosentin todennäköisyydellä.

Huomaa, että tapaukset kattavat koko lukusuoran, joten vastausten summa on 1. Samoin komplementtitapauksia käytetään usein. esim. \(P(3000\leq X) = 1- P(X < 3000)\)

Juoksutesti 2 (tuntematon yläraja)

Samaisessa testissä huomattiin, että 60 % testatuista eivät päässeet tietyn matkan yli. Mikä tämä matka oli?

Ratkaisu: Tuntematon on tässä yläraja. Merkitään ylärajaa eli kysyttyä matkaa kirjaimella \(x\). Saadaan yhtälö \begin{equation*}P(X \leq x)=0,6\end{equation*} Laskin (Ti-nspire ainakin) osaa ratkaista yhtälön suoraan:

solve(normCdf(−∞,x,2200,400)=0.6,x) \(\Rightarrow x\approx 2301 \) m

Vastaus: Kyseinen matka oli noin 2301 metriä, jota 60 prosenttia juoksijoista ei pystynyt ylittämään.

Huom: Ti-nspire ratkaisee samoin tapauksen, jossa odotusarvo on tuntematon. Sen sijaan jos keskihajonta on tuntematon, pitää yhtälön perään asettaa muuttujalle rajoite, esim. |x>0. Muuten ei suostu laskemaan. Jokin järkevä syy tälle lienee..