\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

Eksponentti \(\frac{1}{n}\) ja juuren ottaminen

Murtolukueksponentti on yhteydessä juuren ottamiseen. Olkoon \(n\) positiivinen kokonaisluku ja \(s\) sekä \(x\neq 0\) reaalilukuja. Merkitään seuraavasti:

\begin{equation*}\sqrt[n]{x} = x^{s}\end{equation*}

Mikä luku sopii luvun \(s\) paikalle? Muokataan yhtälöä vähän:

\begin{align*} \sqrt[n]{x} & = x^{s} \quad \Vert ()^n \\ \left (\sqrt[n]{x}\right )^n & = \left (x^{s}\right )^n \\ x & = x^{ns} \\ x^1 & = x^{ns} \end{align*}

Viimeinen yhtälö voi olla tosi vain, kun eksponentit ovat yhtä suuret. Ratkaistaan näin saatu yhtälö luvun \(s\) suhteen:

\begin{align*} 1&=ns \quad \Vert : n\\ \frac{1}{n}&=s \\ \end{align*}

Saatiin siis tulokseksi, että luvun \(s\) paikalle sopii luku \(\frac{1}{n}\). Toisin sanoen on voimassa kaava

\begin{equation*}\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}\end{equation*}

kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla \(n\).