Murtoluku eksponenttina

Aiemmin nähtiin, että kaava

\begin{equation*}x^{\frac{1}{n}}= \sqrt[n]{x} \end{equation*}

toimii kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla \(n\) (oletetaan, että \(x \geq 0)\).

Laajennetaan tätä tapauksiin, joissa eksponentin osoittaja on suurempi kuin ykkönen. Olkoon m jokin positiivinen kokonaisluku. Saadaan seuraava:

\begin{equation*} x^{\frac{m}{n}} = x^{\frac{1}{n} \cdot m } = \left (x^{\frac{1}{n}}\right )^m = \left (\sqrt[n]{x}\right )^m \end{equation*}

eli

\begin{equation*} x^{\frac{m}{n}} = \left (\sqrt[n]{x}\right )^m \end{equation*}

Esimerkki:

\begin{equation*} 27^{\frac{2}{3}} = \left (\sqrt[3]{27}\right )^2= 3^2 = 9 \end{equation*}