Funktiolausekkeen määrittely muunnosten avulla

Muunnokset, erityisesti siirrot, antavat joskus kätevät työkalut funktion lausekkeen selvittämiseen annettujen tietojen tai kuvaajan avulla.

1. asteen polynomifunktio (kuvaaja suora)

Oletetaan, että suora kulkee origon kautta. Vastaava funktio on muotoa

\begin{equation*}f(x)=kx\end{equation*}

jossa \(k\) on suoran kulmakerroin.

Jos halutaan suoran kulkevan pisteen \((x_0, y_0)\) kautta, tehdään tuttu muunnos: vähennetään muuttujan \(y\) arvosta \(y_0\) (suunta ylös, kun \(y_0 >0\)) ja muuttujan \(x\) arvosta \(x_0\) (suunta oikealle, kun \(x_0 > 0\)). Funktion tapauksessa muistetaan vain, että \(y=f(x)\). Saadaan seuraava muoto:

\begin{equation*}f(x)-f(x_0)=k(x-x_0)\end{equation*}

Jos tunnetaan suoran yksi piste ja kulmakerroin, saadaan vastaava funktio selville sijoittamalla ja sieventämällä.

2. asteen polynomifunktio (kuvaaja paraabeli)

Oletetaan, että paraabeli kulkee origon kautta. Vastaava funktio on muotoa

\begin{equation*}f(x)=ax^2\end{equation*}

jossa \(a\) on jokin reaalilukuvakio.

Jos halutaan paraabelin kulkevan pisteen \((x_0, y_0)\) kautta, tehdään muunnos kuten yllä. Saadaan seuraava muoto:

\begin{equation*}f(x)-f(x_0)=a(x-x_0)^2\end{equation*}

Esimerkki

Funktion \(f\) kuvaaja on origon kautta kulkeva paraabeli, jonka huippu on pisteessä \((2, 5)\). Määritä funktion \(f\) lauseke.

Sijoitetaan huipun koordinaatit ensin: \((x_0, f(x_0))=(2,5)\):

\begin{align*} f(x)-f(x_0)& =a(x-x_0)^2 \\ f(x)-5& =a(x-2)^2 \quad \Vert+5\\ f(x)& =a(x-2)^2+5 \\ \end{align*}

Sijoitetaan origo muuttujien \(x\) ja \(f(x)\) paikoille:

\begin{align*} 0& =a(0-2)^2+5 \\ 0& =4a+5 \quad \Vert-4a\\ -4a& =5 \quad \Vert:(-4)\\ a& =-\frac{5}{4}\\ \end{align*}

Nyt tunnetaan kaikki tarvittava, joten sijoitetaan ja sievennetään:

\begin{align*} f(x)& =-\frac{5}{4}(x-2)^2+5 \\ & =-\frac{5}{4}(x^2-4x+4)+5 \\ & =-\frac{5}{4}x^2+5x-5+5 \\ & =-\frac{5}{4}x^2+5x \\ \end{align*}

Vastaus: \(f(x)=-\frac{5}{4}x^2+5x\)