Riippumattomat tapahtumat
Merkintä \(P(A\cap B)\) eli \(P(A\:\text{ja } B)\) viittaa siihen, että tapahtuu sekä \(A\), että \(B\). Todennäköisyys saadaan yleisessä tapauksessa kertolaskulla:
\begin{equation*}P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B│A)\end{equation*}
Merkintä \(B│A\) tarkoittaa "tapahtumaa \(B\) ehdolla \(A\)", eli tässä tapauksessa sitä, että ennen tapahtumaa \(B\) on tapahtunut \(A\).
Jos tapahtumat \(A\) ja \(B\) ovat riippumattomia, lasku sievenee muotoon
\begin{equation*}P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\end{equation*}
Tästä saadaan uusi ehto tapahtumien riippumattomuudelle:
Tapahtumat \(A\) ja \(B\) ovat riippumattomia, jos ja vain jos \(P(B)=P(B│A)\) |
Huomaa, että tämä toimii myös toiseen suuntaan: jos \(P(B) \neq P(B│A)\), niin tapahtumat \(A\) ja \(B\) eivät ole riippumattomia.
Huomautus: yllä oleva päättely toimii myös, jos vaihdat kirjainten A ja B paikkaa keskenään, jolloin riippumattomuusehdoksi saadaan \(P(A)=P(A│B)\).
Esimerkki 1: peräkkäiset kolikonheitot ovat riippumattomia. Tapahtuman "ensin kruuna ja sitten klaava" todennäköisyys on
\begin{align*} &P(\text{kruuna}\cap\text{klaava}) \\ &= P(\text{kruuna}) \cdot P(\text{klaava}│\text{kruuna}) \\ &= P(\text{kruuna}) \cdot P(\text{klaava}) \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \end{align*}
Tässä \(P(\text{klaava}│\text{kruuna})=P(\text{klaava}) \), koska edellinen kruuna ei vaikuta millään tavalla seuraavan klaavan todennäköisyyteen.
Esimerkki 2: purkissa on 3 punaista ja 5 keltaista palloa. Nostetaan 2 palloa palauttamatta niitä purkkiin. Tässä nostot eivät ole riippumattomia:
\(P(\text{pun}) = \frac{3}{8}\) ja \(P(\text{pun}│\text{kelt}) = \frac{3}{7}\), eli \(P(\text{pun}) \neq P(\text{pun}│\text{kelt})\Rightarrow \) tapahtumat "\(\text{pun}\)" ja "\(\text{kelt}\)" eivät ole riippumattomia silloin, kun palloja ei palauteta.
