Leipurit ja Bayesin teoreema

Bayesin teoreema kuuluu seuraavasti (A ja B ovat kaksi tapahtumaa):

\begin{equation*} P\left (A | B\right )=\frac{P(A) \cdot P(B | A)}{P(B)} \end{equation*}

Leipuritehtävän merkinnöillä Bayesin teoreema saa seuraavan muodon:

\begin{equation*} P\left (A | \text{rikki}\right )=\frac{P(A) \cdot P(\text{rikki} | A)}{P(\text{rikki})} \end{equation*}

Laskussa tarvittavat todennäköisyydet ovat seuraavat:

\(P(A)=\frac{3}{4}\) (todennäköisyys sille, että satunnainen pipari on leipurin A koristelema)

\(P(\text{rikki}| A)=\frac{1}{9}\) (todennäköisyys sille, että satunnainen leipurin A koristelema pipari on rikki)

\(P(\text{rikki})=\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{9}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4} = \frac{1}{12}+\frac{1}{16}=\frac{4}{48}+\frac{3}{48}=\frac{7}{48}\) (todennäköisyys sille, että satunnainen pipari on rikki. Pipari voi olla joko leipurin A tai B, jolloin tulos saadaan yhteenlaskulla.)

Nyt kaikki tarvittava on koossa, joten sijoitetaan luvut ja lasketaan:

\begin{equation*} P\left (A | \text{rikki}\right ) =\frac{\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{9}}{\frac{7}{48}} =\frac{\frac{1}{12}}{\frac{7}{48}} =\frac{1}{12}\cdot \frac{48}{7} =\frac{4}{7} \end{equation*}

Vastaus: Todennäköisyys sille, että kyseinen pipari on leipurin A leipoma, on \(\frac{4}{7}\).