Laskuesimerkki (1. asteen rat. funktio)

Rationaalifunktion kuvaaja

Kuvassa 1 on funktion \(h(x)=\frac{2x}{2x+4}\) kuvaaja, sen asymptootit ja symmetria-akseli. Määritetään seuraavaksi muutama funktion perusominaisuus.

Määrittelyjoukko
Funktio \(h(x)\) on määritelty kaikilla muilla muuttujan \(x\) arvoilla, paitsi nimittäjän nollakohdalla. Merkitään nimittäjä nollaksi ja ratkaistaan yhtälö: \begin{align*} 2x+4&=0 \quad \Vert-4 \\ 2x&=-4 \quad \Vert :2 \\ x&=-2 \\ \end{align*} Määrittelyjoukko koostuu siis kaikista muista luvuista paitsi luvusta \(-2\) eli \(x\in\mathbb{R} \setminus \{-2\} \) (ns. määrittelyehto). Määrittelyjoukon merkintä: \(M_h=\mathbb{R} \setminus \{-2\} \).

Asymptootit
Pystysuoran asymptootin yhtälö saadaan nimittäjän nollakohdasta eli yhtälön \(2x+4=0\) ratkaisusta \(x=-2\).

Vaakasuoran asymptootin yhtälö (siis korkeus) saadaan ensimmäisen asteen kertoimien osamäärästä: \(\frac{2}{2}=1\), eli yhtälö on \(y=1\).

Symmetria-akselit
Hyperbeliä leikkaava symmetria-akseli (kuvan musta katkoviiva) kulkee asymptoottien leikkauspisteen ja hyperbelin huippujen kautta. Kulmakerroin on joko \(1\) tai \(-1\), eli tässä tapauksessa kuvaajan perusteella \(-1\). Suoran yhtälö on siis \(y=-x+b\), jonka vakiotermi \(b\) saadaan asymptoottien leikkauspisteen \((-2,1)\) avulla: \begin{align*} y&=-x+b \quad \Vert \:\text{Sijoitus } x=-2, y=1 \\ 1&=-(-2)+b \\ 1&=2+b \quad \Vert -2 \\ -1&=b \\ \end{align*} Tämän suoran yhtälö on siis \(y=-x-1\) ja vastaava funktio \(f(x)=-x-1\). Tämä symmetria-akseli on siinä mielessä tärkeä, että sen avulla saadaan selville hyperbelin huiput.

Toisen symmetria-akselin kulmakerroin on \(1\) ja vakio \(b\) saadaan samoin kuin yllä. Yhtälöksi saadaan \(y=x+3\).

Huiput
Huiput ovat ne kaksi pistettä, joissa toinen symmetria-akseleista leikkaa hyperbelin (toinen ei leikkaa lainkaan). Pisteet saadaan selville merkitsemällä symmetria-akselin ja hyperbelin funktiot yhtä suuriksi ja ratkaisemalla yhtälö (ks. kuvaajien leikkauspisteiden määrittäminen). Lasku on osoitteessa https://opinnot.net/kokonaisuudet/index.php?id_kokon=469.